7. Approfondimenti sull ANOVA

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1 7. Approfondment sull ANOVA La descrzone matematca delle tecnche presentate n questo captolo esula da lmt propr d questo testo. Tuttava tal tecnche sono d grande mportanza ed n letteratura v s fa frequentemente rcorso. La scelta d questa ntroduzone è d fornre quelle nformazon qualtatve che possano permettere al lettore non tanto d elaborare drettamente test, quanto puttosto d comprenderne l sgnfcato se ncontrat nella lettura d stud e pubblcazon. Con questa scelta non s esclude fra l altro che, con l utlzzo d software statstco, anche l lettore possa spermentare n propro le tecnche presentate, ed utlzzarle nel corso d propre spermentazon o rcerche. Indcazon dettaglate per tutte le tecnche d calcolo ctate n questo captolo s possono trovare n R. R. Sokal e F. J. Rohlf, In partcolare per le tecnche non parametrche s può consultare l classco S. Segel e N. J. Castellan Jr, Confront fra grupp nell ANOVA a sngolo crtero d classfcazone Confront appaat non panfcat In abbamo formalzzato le potes n opposzone n una ANOVA: H 0 : I grupp sono tratt da popolazon avent tutte la stressa meda parametrca ; H 1 : I grupp sono tratt da popolazon d cu almeno due hanno meda parametrca dversa fra loro. Abbamo rpetutamente osservato (n chusura del , n chusura d commentando l rsultato del Box 6.2 e n chusura d commentando l rsultato del Box 6.3) che una potes alternatva come la H 1 comporta la necesstà d ulteror ndagn n caso d sgnfcatvtà d F. Un possble tpo d ndagne supplementare consste nel sottoporre a test n modo sstematco la dfferenza d ogn gruppo con cascun altro. Dunque s dà corso a un esame sstematco d tutte le possbl coppe d grupp; per questo motvo le tecnche d questo tpo sono note come confront appaat (non panfcat). Ctamo quattro d queste tecnche; ognuna d esse ha un ambto d applcazone elettvo; non è tuttava scorretto, ne cas da confn ncert, esegure l anals con tutte le tecnche e sceglere quella pù sensble. Il responso del test può essere sa numerco (n genere n forma tabellare) che grafco. Tecnche Ambto d applcazone elettvo metodo T (*) Dmenson ugual del campone metodo T (*) Dmenson sml de campon metodo GT2 (*) Dmenson dfferent de campon metodo Tukey Kramer Dmenson dfferent de campon (*) Con esto sa tabellare che grafco Tab. 7.1 Comncamo ad esemplfcare partendo dall ANOVA svluppata nel Box 6.2. Abbamo quattro nsem d dat, relatv rspettvamente al gruppo d controllo C e a tre grupp spermental S 1, S 2 e S 3. La sgnfcatvtà d F dmostra la dfferenza fra almeno due de grupp. Qual? Come s artcolano effettvamente le dfferenze? Sottoponendo dat ad una anals ulterore col metodo T (le dmenson de grupp sono ugual) ottenamo un responso d questo tpo: S 1 S 2 * S 3 C S 1 S 2 Tab. 7.2 Ogn cella della grgla corrsponde ad un confronto appaato, cu termn s leggono nelle ntestazon d rga e colonna. Valgono le consuete convenzon crca l uso degl astersch (n questo caso per non appesantre la tabella la mancanza d sgnfcatvtà è segnalata da una cella vuota). Dunque dalla Tab. 7.2 rcavamo mmedatamente l nformazone che grupp S 1 e S 2 sono sgnfcatvamente dfferent a lvello Una nformazone ancora pù rcca può talvolta essere desunta da una lettura de grafc eventualmente prodott dalle prme tre procedure d Tab Nel nostro esempo abbamo quello d Fg. 7.1.

2 Fg. 7.1 Questo tpo d grafco è smle a quell esemplfcat nel Box 1.1 Parte c. Anche n questo caso abbamo dat de var grupp sntetzzat da graffe, n cu la tacca centrale rappresenta la meda. Tuttava nel grafco del Box 1.1 l ampezza delle graffe corrspondeva alla devazone standard del gruppo, mentre n questo caso corrsponde ad una statstca dfferente (sempre legata ndrettamente alla dspersone de dat) che è pù sensble alle dfferenze fra grupp. In pratca la lettura del grafco d Fg. 7.1 avvene n questo modo: se fra le graffe d due grupp non v è una regone d sovrapposzone allora v è dfferenza sgnfcatva, altrment no. Anche n questo caso gl unc due grupp che presentano una dfferenza sgnfcatva sono S 1 e S 2. Il grafco n Fg. 7.1 contene una nformazone pù rcca rspetto a quella della laconca Tab. 7.2, ma ne rparleremo n Esemplfchamo ora con dat del problema del Box 6.3; l unca procedura suffcentemente sensble per l ndvduazone delle dfferenze present ne grupp è quella d Tukey Kramer, e dà un esto sntetzzato n Tab. 7.3.: l unca dfferenza sgnfcatva (a lvello 0.05) è fra grupp C ed E. B C D E * A B C D Tab. 7.3 Tuttava anche dalla procedura grafca connessa alla procedura GT2 ottenamo un rsultato molto vcno a quello d Tab.7.3 (salvo una pccola zona d sovrapposzone fra le graffe corrspondent a grupp C ed E, come mostra Fg Fg. 7.2 Questo supplemento d ndagne charsce dunque che è dmostrato un dfferente atteggamento ne confront delle assenze fra gl student provenent dalle scuole C ed E Confront multpl non panfcat Talvolta dat sembrano suggerre una suddvsone de grupp n super grupp omogene. Ad esempo Fg. 7.1 sembra suggerre una omogenetà d rsultat fra grupp C ed S 1 n opposzone a quell de grupp S 2 e S 3 a loro volta abbastanza omogene. In queste stuazon potremmo desderare d sottoporre a test la sgnfcatvtà della dfferenza fra var super grupp; nel nostro caso vorremmo sottoporre a test la dfferenza: {C, S 1 } vs. {S 2, S 3 }. Esstono numerosssme procedure che svolgono questo lavoro, cascuna delle qual ha un propro ambto d applcazone elettvo. In questa nota sommara ne cteremo solo una, nota sotto l nome d procedura SS STP. Essa rcombna le somme de quadrat SS de var grupp e le sottopone ad un opportuno test. Nel caso specfco dell esempo, ottenamo fra due super grupp una dfferenza sgnfcatva a lvello Una conclusone (affrettata) potrebbe dunque essere questa: le condzon spermental a cu è stato sottoposto l gruppo S 1 s sono rvelate neffcac, mentre sostanzalmente equvalent sono quelle de grupp S 2 e S 3. Tuttava una tale conclusone non tene conto del fatto che l unca dfferenza sgnfcatva fra grupp è quella fra S 1 e S 2.

3 Questo suggersce l sospetto che la dfferenza fra super grupp non sa dovuta tanto alla bontà de trattament S 2, S 3, rspetto al controllo C, quanto puttosto agl est assa scars del gruppo S 1. Il sospetto è confermato dal fatto che sottoponendo a test la dfferenza {C } vs. {S 2, S 3 } essa non rsulta sgnfcatva. Cò permette d concludere che la spermentazone non ha prodotto rsultat sgnfcatv Due modell d ANOVA ANOVA d modello I e II Tornamo un altra volta al problema analzzato nel Box 6.3, relatvo alle assenze d alunn provenent da dfferent scuole. Il questo può essere posto n due mod che dfferscono sottlmente. La provenenza dalle scuole A, B,C produce dvers grad d affezone alle lezon? La provenenza da scuole dfferent può produrre dfferent grad d affezone alle lezon? Nel prmo caso no sospettamo che n ben determnate scuole v sa un orentamento educatvo generale che produce un grado d affezone alle lezon dfferente da quello d ben precse altre scuole con orentament educatv dfferent. Insomma, potzzamo che l grado d affezone scolastca sa l rsultato dretto d un determnato orentamento educatvo. In termn general potzzamo che l affezone sa un effetto fsso dovuto ad un ben precso trattamento. Con l espressone effetto fsso ntendamo che s tratta d una conseguenza sstematca d un orentamento educatvo che ndchamo col termne generale d trattamento. In questo prmo caso, per condurre l ndagne che c nteressa dobbamo sceglere con cura le scuole che supponamo produrre student affezonat e quelle che nvece supponamo produrre student dsaffezonat. In questo caso la varabltà fra grupp verrà consderata un effetto dovuto ad un trattamento. Il secondo modo d porre l questo è pù generale: s potzza coè che scuole dfferent possano produrre, per una sere concomtante d fattor mprecsat e ncontrollabl, dfferent grad d affezone scolastca; però, esattamente, non samo n grado d prevedere scuola per scuola quale sa l dfferente grado d affezone prodotto. In questa stuazone s parla d effett casual, n opposzone agl effett fss del caso precedente. Ovvamente se voglamo ndagare su effett casual l ndagne va condotta camponando n modo casuale gl sttut d provenenza (se non è possble un ndagne esaustva). Le scuole estratte casualmente non rappresentano esattamente se stesse e la propra mpostazone educatva, ma campon de dfferent e casual mod possbl d condzonare l grado d affezone alle lezon degl student. In questo caso la varabltà fra grupp non è un effetto dovuto a un trattamento, ma una semplce componente aggunta d varanza fra grupp, d cu non samo n grado d precsare esattamente le cause, se non rferendoc n modo generco a dfferenze ambental mprecsate che nevtablmente vengono a formars. A seconda del tpo d mpostazone s parla d ANOVA d modello I o II. Pù precsamente: Se s potzza che eventual dfferenze fra grupp sano effett fss dovut ad un trattamento s parla d ANOVA d modello I; Se s potzza che eventual dfferenze fra grupp sano dovute ad effett casual s parla d ANOVA d modello II Struttura della varazone ne due modell; stma della componente aggunta d varanza Ogn sngola varata trattata nel corso d un anals della varanza può consderars decomposta n una somma d tre component: una derva dall appartenenza della varata alla grande popolazone da cu sono stat tratt var grupp; tale componente è espressa dalla la meda d questa popolazone; una seconda componente derva dall appartenenza della varata al propro gruppo; essa è caratterzzato dalla devazone rspetto alla meda generale tpca del gruppo d appartenenza; la terza componente derva dalla varabltà ndvduale all nterno del gruppo d appartenenza, ed è espressa dalla devazone ndvduale Per formalzzare quanto detto, consderamo una sngola varata Y, dcamo la j esma del gruppo esmo, ed ndchamola con Y. Questa sarà data dalla somma algebrca delle tre component elencate sopra: Y j Y A La prma delle (7.1) s rfersce ad un ANOVA d modello I, mentre la seconda ad un ANOVA s modello II. Nelle (7.1) è la meda della popolazone da cu sono estratt grupp, è la devazone della meda del gruppo esmo dalla meda generale (nel caso d effetto fsso), (7.1) A è la devazone della meda del gruppo esmo dalla meda generale (nel caso d effetto casuale), mentre è la devazone ndvduale dell elemento j esmo del gruppo esmo. Sa che A che possono essere devazon sa postve che negatve; ecco perché s è parlato d somma algebrca.

4 I calcol necessar all elaborazone dell ANOVA de due modell sono n lnea d massma ugual (almeno per tutto cò che abbamo menzonato fno a qu). L attenzone va posta prncpalmente nelle operazon d camponamento (come è stato sommaramente esemplfcato n ) e n modo partcolare nell nterpretazone de rsultat. Nel caso d una ANOVA d modello II software statstc rportano n genere una nteressante stma componente aggunta d varanza, sa n termn assolut che percentual. Ad esempo nel caso dell ndagne sulle assenze abbamo: 2 s A =1.970 Percentuale d varazone fra grupp: 25.3% Percentuale d varazone all nterno de grupp: 74.7% S prest attenzone al fatto che n genere l software statstco fornsce queste ndcazon comunque, a prescndere coè dal modello effettvo d ANOVA (I o II), lascando all utente la responsabltà d decdere n merto all appropratezza della statstca nel contesto ANOVA a pù crter d classfcazone o fattoral L ANOVA fattorale è la tecnca statstca adeguata per dsegn fattoral descrtt n 4.4. della Parte metodologca. Quanto segue presuppone la conoscenza d tal dsegn e del connesso concetto d nterazone ( ) ANOVA a due ve con o senza replcazone Se fattor del dsegno spermentale sono due la corrspondente anals della varanza s dce a due ve. Supponamo che per l prmo fattore s presentno n modaltà e per l secondo m modaltà. I dat raccolt nella spermentazone possono essere raccolt n una grgla con n colonne ed m rghe n s 2 A della m In cascuna delle celle possono mmagnars raccolt dat relatv all ncroco della partcolare modaltà del prmo fattore con la partcolare modaltà del secondo. Se ad esempo n una ndagne sulla ruscta scolastca fattor ndagat sono l sesso (due modaltà: M e F) e area geografca d appartenenza (quattro fattor: Nord, Centro, Sud, Isole), nella cella alla colonna M e alla rga Centro saranno ranno dealmente raccolt dat relatv alla ruscta scolastca de masch del centro. Se per ogn cella abbamo un certo numero d sngole varate Y samo n presenza d un dsegno con replcazone. Se nvece per ogn cella c è a dsposzone una sngola varata Y abbamo un dsegno senza replcazone Font d varazone n un ANOVA fattorale con replcazone Comncamo a parlare de dsegn fattoral con replcazone. Sebbene calcol necessar per condurre a termne l anals della varanza fattorale sano puttosto compless, tuttava la loro logca non è dssmle da quella dell ANOVA a sngolo crtero d classfcazone. Anche n questo caso la somma de quadrat totale SS t ed grad d lbertà total t vengono partt n modo da scomporre la varabltà totale fra le dverse font d varazone. In un dsegno a due fattor le font d varazone sono: l prmo fattore (n quanto s suppone che se l fattore è effcace determna dfferenze, e qund varazon); l secondo fattore (analogo motvo) l nterazone fra due fattor (nel senso che le dverse combnazon de due fattor possono produrre effett snergc dversfcat) la varabltà ndvduale o errore

5 Così come nell ANOVA ad un fattore la varanza fra grupp è sottoposta a test n rapporto alla varanza all nterno de grupp, anche nell ANOVA fattorale ogn lvello d varazone è sottoposto a test n rapporto all approprato lvello precedente. La tavola rassuntva d un ANOVA a due ve s presenta come Tab. 7.4 Font d Varazone SS MS F Fattore 1 Fattore 2 Interazone (Fattore 1 x Fattore 2) Varanza errore / Tab. 7.4 mentre nel caso d tre fattor la tavola rassuntva è come Tab. 7.5 Font d Varazone SS MS F Fattore 1 Fattore 2 Fattore 3 Fattore 1 x Fattore 2 Fattore 1 x Fattore 3 Fattore 2 x Fattore 3 Fattore 1 x Fattore 2 x Fattore 3 Varanza errore / Tab. 7.5 Come s vede sono present tutte le nterazon d ordne 2 (coè fra due fattor) e quella d ordne 3. Per cascuno de lvell d varazone è valutata la sgnfcatvtà della corrspondente statstca F. Le relatve modaltà d calcolo sono condzonate dal tpo d ANOVA, che può essere d modello I se per tutt fattor s ha effetto fsso, d modello II se per tutt fattor l effetto è casuale e d modello msto se sono present tutt e due tp d effetto. Questa precsazone vale a sottolneare l fatto che anche utlzzando un software statstco è necessaro specfcare per ogn fattore l tpo d effetto Font d varazone n un ANOVA fattorale senza replcazone Introducamo l argomento con un esempo. S vuole verfcare se fra dvers nsegnant della stessa dscplna c è accordo nella valutazone d dfferent tpologe d error; ad esempo, n un compto d algebra: errore d trascrzone da un passaggo all altro; errore d calcolo; errore d segno non assmlable ad errore d calcolo; errore d algebra (e qu potremmo sbzzarrrc ) e così va. S prepara un compto con tant esercz quant sono tp d errore che s voglono osservare; tutt gl esercz saranno ugual (ad esempo, se gl error sono 6: se equazon d par lvello d dffcoltà, oppure se espresson, oppure se sstem ). Il compto non vene effettvamente svolto da uno studente, ma dal gestore del dsegno spermentale che ha cura d nserre delberatamente n ogn eserczo un solo errore, d tpo dfferente da eserczo a eserczo. L elaborato vene po fatto correggere da pù docent sulla base d una grgla d valutazone che prevede lo stesso punteggo (ponamo 10 punt) per cascun eserczo. Raccolte le correzon, puntegg per cascun eserczo d cascun docente sono nsert n una tabella n cu le colonne rappresentano docent, e le rghe gl esercz, o meglo, tp d errore. In ogn cella avremo un solo dato: s tratta dunque d un dsegno fattorale senza replcazone. Rspetto a dsegn con replcazone, n quell senza replcazone s assume che l nterazone fra fattor sa non sgnfcatva. L esto d un ANOVA fattorale senza replcazone vene dunque sntetzzato come n Tab. 7.6 Font d Varazone SS MS F Rghe Colonne Varanza resdua / Tab. 7.6 I dsegn senza replcazone hanno l prego d rchedere mnor cost n senso lato: nel caso dell esempo soprattutto n termn d energe umane; qund tal dsegn possono essere utlzzat con maggor facltà. Tuttava nel caso dell esempo precedente con poch sforz n pù è possble realzzare un corrspondente dsegno fattorale con replcazone. Il vantaggo che derva dalla replcazone è quello d poter sottoporre a test anche l nterazone. L ANOVA senza replcazone è la tecnca statstca approprata per dsegn a blocch randomzzat complet. In tal caso la tabella rassuntva è del tpo d Tab. 7.7.

6 Font d Varazone SS MS F Fra blocch Fra trattament Varanza errore / Tab. 7.7 Prma d concludere è opportuno rlevare che nel caso partcolare n cu le colonne sano due l ANOVA fattorale senza replcazone concde col t test per dat appaat llustrato n e e s dmostra che fra le corrspondent statstche t ed F vale una relazone analoga a quella ctata n ANOVA gerarchca o ndfcata S tratta della tecnca statstca donea al trattamento de dat spermental raccolt attraverso un dsegno gerarchco (ved 4.5. della Parte metodologca). Prma d descrvere l tpo d rsposte che può fornre una anals della varanza d tpo gerarchco, occorre precsare un assunzone fondamentale d questa tecnca. L ANOVA gerarchca esge che per cascun lvello d anndamento (tranne al pù l prmo) gl effett sano non fss ma casual. Cò mplca una organzzazone dell espermento conforme a questo vncolo. Rprendamo l esempo fornto n della Parte metodologca. Parlamo delle due grgle che ogn docente deve preparare: s è gà detto che cascun docente non deve preparare due possbl e dfferent grgle (che prevedono un effetto fsso dovuto appunto alla programmata dverstà delle due grgle), ma semplcemente deve rpetere n moment dfferent ed n modo ndpendente l operazone d stesura della grgla de puntegg. Le due grgle devono coè esprmere la varabltà casuale cu è effettvamente soggetto l docente nel momento n cu prepara una grgla d valutazone. Analogo ragonamento va fatto per tutt gl altr lvell d anndamento. Il prmo lvello, nell esempo d È quello relatvo alla varable docente, può nvece avere effett sa casual che fss. Dunque nell esempo docent potranno essere sa scelt n base a loro suppost dfferent metod valutatv (effetto fsso), o casualmente, a rappresentare la varabltà casuale che caratterzza la dstrbuzone de metod valutatv (effetto casuale). Nel caso che l prmo fattore sa ad effett casual (come tutt successv) s tratta d un ANOVA pura d modello II, mentre nel caso l prmo lvello sa ad effett fss s tratta d un ANOVA d modello msto. Venamo alle nformazon che dà una tale anals. Essa scompone la varanza totale n una sere d component dovute a cascuno de lvell d anndamento elaborat. La varanza d ogn lvello è sottoposta a test d sgnfcatvtà rspetto a quella del lvello precedente. Per ogn lvello l anals offre una stma percentuale della varanza totale. Il prospetto fnale è come n Tab Component d varanza Font d Varazone SS MS F Mod. Puro Mod. Msto Fra docent % / Fra grgle all nterno de docent % % Fra correzon all nterno d grgle % % Fra valutazon all nterno delle correzon % % Fra elaborat all nterno delle valutazon / % % Tab. 7.8 A questo punto docent hanno un quadro precso che permetterà d ndvduare qual sano passagg n cu puntegg subscono la maggor varabltà e potranno ntervenre d conseguenza. Per l prmo lvello è po possble operare una anals comparata de grupp come quella descrtta n oppure n Assunzon dell ANOVA e test non parametrc sosttutv Le assunzon dell'anova Presentando la statstca F e la sua dstrbuzone abbamo vsto che alla base d tutto stanno alcune assunzon che è bene rchamare esplctamente: campon devono essere casual e ndpendent (casualtà e ndpendenza) la popolazone da cu sono estratt deve essere dstrbuta normalmente (normaltà) le varanze delle sottopopolazon da cu sono tratt grupp devono essere omogenee (omoschedastctà) In dfetto d una o pù d queste potes l rsultato può essere pù o meno naffdable. A proposto del prmo punto non c'è molto da aggungere, se non l'obblgo d rspettare tal vncol nel camponamento, ma questa è ordnara ammnstrazone. Rguardo al dfetto d normaltà occorre precsare che l'anova è un metodo abbastanza robusto: n termne è tecnco ed esprme (approssmatvamente parlando) la capactà del test d mantenere la propra valdtà n dfetto delle assunzon

7 su cu è basato. L'ANOVA non patsce eccessvamente dfett d normaltà, n quanto larora sulle mede, le qual tendono ad una dstrbuzone normale anche n dfetto d normaltà della popolazone sottostante. Solo fort asmmetre condzonano negatvamente l'esto del test. Pertanto basta sncerars che dat raccolt non sano fortemente asmmetrc (ma anche n questo caso esstono alcune tecnche d trasformazone de dat che l forzano alla smmetra). Per quanto rguarda l'omoschedastctà esstono test per l'omogenetà delle varanze fra qual uno noto come test d Bartlett. Non è escluso l'utlzzo del test F max presentato n , per quanto tale metodo rentr nel novero d quell che gl statstc qualfcano come quck and drty (veloc ma sporch). In sntes possamo dre che prma d esegure l'anova occorre sncerars che le assunzon sano rspettate n msura adeguata. Tab. 7.9 rassume controll che è bene effettuare: Assunzone Assunzone Tecnca d controllo Casualtà e ndpendenza Controllo della tecnca d camponamento Normaltà Omoschedastctà Test per l'asmmetra de dat Test d Bartlett o F max Tab Test approssmato d Games e Howell Quando v è un dfetto d omoschedastctà esste una specfca procedura d calcolo nota come test approssmato d Games e Howell che permette d ottenere confront appaat non panfcat fre a grupp d n element, analogamente e quanto abbamo vsto n Alternatve non perametrche all'anova Tutt test presentat fno ad ora sono dett parametrc, n quanto l'potes nulla H 0 rguarda drettamente var parametr d una popolazone (fno ad ora essenzalmente e ). I test parametrc sono n genere basat su una sere d assunzon; ad esempo n abbamo rchamato qual sano per l'anova e come effettuare necessar controll. In partcolare tutt test presentat fno a questo punto potzzano almeno che la dstrbuzone soggacente sa normale. Questo vncolo l pù delle volte non è eccessvamente restrttvo ed test basat sulla statstca t ed F sono abbastanza robust. V sono tuttava delle crcostanze n cu la volazone delle assunzon è tale da compromettere drastcamente l'attendbltà del test. In queste crcostanze sono utlzzabl alcun metod alternatv dett non parametrc (n quanto l'potes nulla non rguarda drettamente parametr della popolazone ma solo la dstrbuzone dalle varate Y) o lber da dstrbuzone (n quanto non è rchesto che la popolazone soggacente abba una data dstrbuzone, come ad esempo quella normale). Quest metod sono n genere molto semplc e qund sono spesso utlzzat. Tuttava occorre precsare che nel caso le assunzon de test parametrc sano soddsfatte, anche solo parzalmente, quest sono pù potent de corrspondent non parametrc. La precsazone necessta d una spegazone almeno ntutva. Il fatto è che quas tutt test non parametrc sono adatt per dat su scala ordnale (ved ), mentre test parametrc trattano dat quanttatv su scala almeno ad ntervall (ved ) se non a rapport (ved ). Se abbamo dat su scala ad ntervall (come ad esempo puntegg grezz d una prova oggettva) e voglamo trattarl con un test non parametrco, dobbamo sostture ad ogn dato l suo numero d ordne n una potetca graduatora che l comprenda tutt (per rportarl ad una scala ordnale). Il numero d ordne s chama rango. Ebbene, sostture un dato con l suo rango comporta una degradazone dell nformazone contenuta nel dato stesso. Il test non parametrco dunque lavora su dat che hanno subto n qualche msura un degrado; la sua potenza è dunque necessaramente nferore a quella del corrspondente test non parametrco che tratta l dato ntegro. Dunque, test non parametrc costtuscono un alternatva all uso de test parametrc nel caso d dat su scala almeno ad ntervall che tuttava non ne soddsfno le assunzon; è altresì scontato, ma è opportuno drlo esplctamente, che test non parametrc sono l unca possbltà nel caso d dat che gà n partenza sono su scala ordnale (come ad esempo vot scolastc). Tab elenca vare alternatve non parametrche a test parametrc specfcat. Test parametrco Test non parametrco corrspondente ANOVA a sngono crtero d classfcazone e t-test per Test d Kruskal Walls o U test d Mann Wtney grupp ndpendent Procedura SS-STP per confront multpl Procedura STP non parametrca per confront multpl t test per dat appaat ANOVA a due ve senza replcazone e t test per dat appaat Test d Wlcoxon per rangh con segno Test d Fredman Tab. 7.10