Guida al Laboratorio di Fisica I

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1 Guda al Laboratoro d Fsca I Lu Renna DIPARTIMETO DI FISICA E IF UIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE a.a. 03/04 0,5 0, f B 4,5 A 4 b a B A l θ cursore 0,5 0, 0,05 0 F C c D ,5 3 m,5 m,5 0,5 0,4,5,6,7,8,9

2 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Informazon leal: Copyrht 03 Lu Renna Questo documento è tutelato a sens delle le sul drtto d autore e delle norme a protezone della propretà ntellettuale. Rproduzon o suo mpeo sono consentt con ndcazone della fonte. Ths work s lcensed under the Creatve Commons Attrbuzone - on commercale - on opere dervate 3.0 Itala Lcense. To vew a copy of ths lcense, vst Indrzzo dell autore: Unverstà del Salento Dpartmento d Matematca e Fsca E. De Gor va per Arnesano, 7300 Lecce emal: lu.renna@unsalento.t web: L. Renna

3 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Sommaro Premessa... 5 Parte I... 6 Fsca e msura Grandezze fondamental e dervate. Sstem d untà d msura Il Sstema Internazonale Lunhezza Massa Tempo Dmenson delle randezze Anals dmensonale Cambamento d sstema d untà d msura Esemp Stma d ordne d randezza... Strument d msura Msure drette e ndrette Component fondamental del strument d msura Caratterstche del strument d msura Intervallo d funzonamento Prontezza Curva d rsposta e scale Sensbltà Precsone Accuratezza Offset Error nelle msure Rappresentare le msure Classfcazone del error Error sstematc Error casual Accuratezza e precsone Incertezza frazonara Cfre snfcatve e arrotondament Incertezza d sensbltà - ncertezza massma Propaazone del error massm Funzon alebrche Funzon arbtrare. Caso enerale Propaazone dell ncertezza relatva Esemp Rappresentazone rafca de rsultat spermental Esemp d lnearzzazone Costruzone d scale non lnear L. Renna

4 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 5.3 La mlore curva che s adatta a dat spermental Ft lneare Metodo della massma e mnma pendenza Incertezze nelle msure rpetute Error casual Valor medo Stma delle ncertezze Incertezza massma Devazone Standard Propaazone delle ncertezze Somma Funzone non lneare Funzone d pù varabl Devazone standard della meda Osservazon sulla propaazone delle ncertezze nelle msure ndrette Esemp Dstrbuzon Dstrbuzon d frequenze Istoramm La dstrbuzone lmte Dstrbuzon contnue Dstrbuzone normale Dstrbuzone unforme Lee de rand numer e snfcato probablstco della dstrbuzone normale Teorema del lmte centrale Meda pesata Stma d confdenza per la meda Compatbltà con un valore assenato Compatbltà d due valor msurat Il prncpo d massma verosmlanza La dstrbuzone t d Student Parte II Strument d msura. Msura d lunhezze Calbro a cursore Esemp d letture Calbro Palmer Esemp d letture Sferometro Strument d msura. Msura d massa La blanca: prncpo d funzonamento La blanca analtca Lettura della poszone d equlbro Sensbltà Msura dretta Dfferenze nelle poszon d equlbro Error sstematc Msura della massa col metodo della tara L. Renna 3

5 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 0 Msura del perodo d un pendolo e dell accelerazone d ravtà Perodo del pendolo semplce Msura d Parte III Appendce Tabelle delle dstrbuzon Bblorafa... 8 Rnrazament... 8 L. Renna 4

6 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Premessa Questo manuale costtusce una uda allo studo del corso d Laboratoro I, redatta sulla tracca delle lezon tenute dal sottoscrtto nell anno accademco 005/006. In esso sono svluppat anche l aroment la cu conoscenza è necessara per lo svolmento delle eserctazon pratche d laboratoro. In nessun caso esso va utlzzato n sosttuzone della frequenza alle lezon, ma come utle rfermento per la preparazone dell esame. In bblorafa sono rportat test attraverso qual s possono effettuare utl approfondment o amplament. Completa l materale ddattco a dsposzone del corso la Guda alle eserctazon d Laboratoro I anno accademco 03/04. L.R. Ottobre, 03 È dsponble una uda ntroduttva d base per la matematca: ozon elementar d calcolo dfferenzale e nterale a. a. 03/04. Per l ntroduzone al calcolo numerco e l anals de dat n ambente MATLAB è dsponble l seuente materale: Breve ntroduzone a MATLAB a. a. 03/04. Anals d dat con MATLAB a. a. 03/04. L. Renna 5

7 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Parte I Fsca e msura La fsca è una scenza fondamentale che ha per oetto la comprensone de fenomen natural d base che accadono nell unverso. Essa è basata su osservazon spermental e msure quanttatve, realzzate allo scopo d svluppare teore costrute su le fondamental, comprovate dall esperenza. Le le fondamental sono espresse nel lnuao della matematca, lo strumento che realzza un leame tra teora ed espermento. Una teora fsca è un nseme coerente d le medante le qual è possble enuncare affermazon emprcamente verfcabl. L esenza d esprmere sa le predzon che le osservazon spermental n termn quanttatv pone delle condzon ben precse sulle caratterstche delle randezze fsche oetto della costruzone teorca e delle osservazon: esse debbono rferrs, drettamente od ndrettamente, a quanttà msurabl, delle qual coè sa possble dare una defnzone operatva. Una randezza è defnta operatvamente quando è ndcata esplctamente una precsa procedura, eseuendo la quale s ottene come rsultato un numero (od un nseme d numer), che rappresenta l valore della randezza n questone. Una randezza è qund defnta dal procedmento che porta alla sua msura. Il processo d msura è sempre soetto ad error, dett error spermental. on esste a pror un nseme predefnto d randezze fsche. Esse sono ntrodotte man mano che nuov fenomen sono scopert.. Grandezze fondamental e dervate. Sstem d untà d msura La descrzone d qualsas fenomeno fsco è effettuata attraverso le randezze fsche che lo caratterzzano, e che sono defnte tramte la loro operazone d msura (o msurazone, coè l nseme delle operazon avent lo scopo d determnare una stma del valore d una randezza). S defnsce msura d una randezza fsca l numero che rappresenta l rapporto tra la randezza da msurare, o msurando, ed un altra randezza ad essa omoenea, assunta come untà d msura. Indcata con {G} l untà d msura della randezza fsca G e con la sua msura, s ha G = {G}. () La msura deve essere oettva, coè ndpendente da osservatore, momento e luoo. Alcune randezze fsche, opportunamente scelte, dette fondamental, sono usate per la defnzone operatva d tutte le altre randezze, dette dervate. Le randezze fondamental sono fra loro ndpendent. Può essere scelta come fondamentale on randezza msurable. Le untà d msura devono essere scelte secondo una convenzone unversalmente valda. La loro defnzone è un operazone complessa, soetta a raffnament successv. Un ruppo arbtraro d randezze fondamental nseme alle relatve untà d msura costtusce un Sstema d untà d msura. Sono omoenee le randezze per le qual è possble effettuare operazon d confronto e addzone. L. Renna 6

8 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Tutte le altre randezze sono esprmbl medante relazon alebrche con le randezze fondamental (Sstema completo). Le randezze dervate sono dunque defnte tramte relazon funzonal che le colleano a quelle fondamental. Sa F la randezza fondamentale dell nseme d n randezze fondamental e G una randezza dervata. Deve essere G n n k F F F k F, ()... n dove k è una costante d proporzonaltà che dpende dalla scelta delle untà d msura d G e delle F ; α sono numer razonal postv o neatv. Esprmendo le randezze attraverso le rspettve untà d msura, la relazone () s scrve: G k f F f F f n... n n F n (3) Una defnzone coerente d {G} mplca k =, ossa: n f f... (4) f n G F F... n. (5) F n. Il Sstema Internazonale In meccanca le tre randezze fondamental sono la lunhezza (L), la massa (M) e l tempo (T). Tutte le altre quanttà fsche della meccanca possono essere espresse n termn d queste. Per comuncare e rprodurre rsultat d una msura è necessaro defnre uno standard comune e avere a dsposzone untà d msura materal, coè campon. Alcune randezze non hanno un campone materale, e sono stablte attraverso la defnzone operatva de rspettv campon. Da campon prmar sono rcavat campon secondar. I campon sono utlzzat per tarare l strument 3. el 960, una commssone nternazonale defnì un nseme d campon per le quanttà fondamental. Il sstema che fu adottato è un adattamento del sstema metrco decmale ed è chamato Sstema Internazonale (SI). In questo sstema, le untà d lunhezza, massa e tempo sono rspettvamente l metro, l chlorammo e l secondo. Altre untà SI stablte dalla commssone sono l kelvn per la temperatura, l ampere per la corrente elettrca, la candela per l ntenstà lumnosa e la mole per la quanttà d matera (Tabelle e )... Lunhezza Il metro era defnto, fno al 960, come la dstanza fra due tacche su una partcolare barra d platno-rdo conservata sotto condzon controllate (la sua lunhezza era stata scelta crca uuale ad / della crconferenza della Terra). Dal 960 al 983 era defnto come volte la lunhezza d onda della luce alla dell sotopo 86 del krpton ( 86 Kr). Dal 983 ad o esso è defnto nel modo seuente: Il metro (m) è la dstanza percorsa dalla luce nel vuoto n un tempo uuale a / second. 4 3 S veda l Captolo. 4 Questa defnzone stablsce che la veloctà della luce nel vuoto è esattamente metr per secondo. In aunta, essa rchede che sa defnto prma l secondo. L. Renna 7

9 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento.. Massa L untà d msura della massa è l chlorammo (k) defnto come la massa d un partcolare clndro d platno-rdo conservato all Internatonal Bureau d Pes e Msure d Sèvres, Franca. Tabella Grandezze e untà fondamental del sstema SI Grandezza Untà d msura Smbolo Lunhezza metro m Massa chlorammo k Tempo secondo s Temperatura kelvn K Intenstà d corrente elettrca ampere A Intenstà lumnosa candela cd Quanttà d matera mole mol..3 Tempo Prma del 967 l campone d tempo era defnto n termn del orno solare medo restrato nell anno 900 (uuale a /60/60/4 della sua durata). È stato qund rdefnto medante la frequenza caratterstca d un partcolare tpo d atomo: l secondo (s) è volte l perodo delle vbrazon d un atomo d ceso 33 Ce. Tabella Defnzon delle untà d base m / c s (c veloctà della luce nel vuoto) k massa d un apposto campone d Pt-Ir conservato presso l BIPM (Bureau Internatonal des Pods et Mesures) s perod della radazone prodotta dal 33 Cs (ra opportuna) A corrente che produce la forza d 0-7 ewton per m fra due conduttor nfnt post alla dstanza d m K /73.6 della temperatura del punto trplo dell acqua cd ntenstà lumnosa d /683 d watt per steradante d una radazone monocromatca d Hz mol quanttà d sostanza che contene tante molecole quante ve ne sono n 0.0 k d C Il sstema SI (o MKS) non è l unco sstema adottato, spesso s usa anche l sstema cs o Gaussano, n cu le untà d lunhezza, massa e tempo sono rspettvamente l centmetro (cm), l rammo () ed l secondo. 5 5 In alcun settor della fsca s utlzzano untà dfferent, pù adatte alla specfctà de sstem sotto osservazone o studo. el sstema d untà natural s pone ħ = c =, dove ħ = k m s - è la costante d Plank (dvsa per π) e c la veloctà della luce nel vuoto. Come conseuenza d L. Renna 8

10 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento In aunta alle untà SI d base, s usano altre untà costtute da loro opportune potenze d dec, dentfcate da approprat prefss (Tabella 3)..3 Dmenson delle randezze La dmensone denota la natura fsca d una randezza. Ad esempo, la dmensone d una dstanza, n qualunque untà sa msurata, è la lunhezza. Lunhezza, massa e tempo sono ndcate rspettvamente con le lettere L, M e T. La dmensone d una randezza fsca è ndcata da lettere racchuse nel smbolo [ ]. In enerale n [ G] [ F ] [ F ]...[ F n ]. (6) Ad esempo, le dmenson della veloctà s scrvono [v] = [L]/[T], quelle dell area [A] = [L]. Le dmenson della forza sono [F] = [M][ L][T] -, quelle del lavoro o dell enera cnetca sono date da [L] = [M] [L] [T] -. Da osservare che se due randezze sono uual G G allora hanno la stessa dmensone [ G ] [ G ]. La condzone è solo necessara: le dmenson non defnscono n manera unvoca le randezze fsche. Due randezze possono essere sommate alebrcamente G G G solo se hanno la stessa dmensone [ G ] [ G ]. È evdente che per una randezza dervata è possble solo la combnazone [ G] n [ F ]. e seue che l aromento d on funzone trascendente deve essere admensonale. Cò s deduce faclmente osservando che nello svluppo n sere delle funzon dervabl, qual, ad esempo: sen..., e..., 3! 5!! 3! l aromento compare elevato a potenze dfferent. Anolo pano B O πr R α A AB α OB Anolo soldo S Ω 4πR R S R 4 F. Per quanto ruarda l anol, l anolo pano è msurato n radant e quello soldo n steradant. Come s vede dalla fura, essendo l rapporto d randezze omoenee, la msura d α (o d Ω) non ha dmensone. questa scelta s rduce l numero delle randezze fondamental mentre aumenta (rspetto al sstema SI) l numero d randezze fsche dfferent che hanno la stessa untà d msura. L. Renna 9

11 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Tabella 3 Multpl e sottomultpl delle untà d msura Fattore moltplcatvo Prefsso Smbolo ea E peta P tera T a G mea M klo k 00 0 hecto h 0 0 deca da 0, 0 - dec d 0,0 0 - cent c 0, mll m 0, mcro μ 0, nano n 0, pco p 0, femto f 0, atto a.4 Anals dmensonale Le randezze possono essere trattate come quanttà alebrche, e qund essere sommate o sottratte fra loro, solo se hanno le stesse dmenson. Percò due membr d una equazone devono avere la stessa dmensone. L anals dmensonale consste nel controllare la correttezza d una relazone attraverso la verfca della sua consstenza dmensonale 6. La valdtà della relazone = /at (del moto rettlneo unformemente accelerato) comporta che essa soddsf la verfca dmensonale: [L] = [L][T] - [T]. Un tpco procedmento dell anals dmensonale consente d trovare una relazone tra randezze. S costrusce un espressone del tpo a t, n cu α ed α sono del esponent da determnare; la relazone è corretta soltanto se le dmenson d entramb membr sono le stesse. Percò [ a ] [T] [L], e poché [a] = [L] [T] -, s ha [ L] [T] [L], da cu s deduce che α = e α =. Come secondo esempo c s propone d determnare la dpendenza funzonale (a meno d un fattore moltplcatvo) del perodo d un pendolo semplce dalla massa m, dalla lunhezza l e dall accelerazone d ravtà. Posto 3 T k m l, ed eualando le dmenson 6 Come à osservato, questo crtero non costtusce una condzone suffcente. L. Renna 0

12 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento [ T] [ M ] 3 3 [ M ] [ L] [ T] s determnano l esponent 0, 0, [ L] 0, 3, e qund l perodo 3 ([ L] [ T] 3 3 ) 3 l T k, dove, come s sa, k = π. I coeffcent che compaono n molte le fsche hanno dmenson ben determnate. Ad esempo, la costante G che compare nella lee d ravtazone m m' unversale F G ha dmenson [G] = [L] 3 [M] - [T] -. r.5 Cambamento d sstema d untà d msura Per convertre le untà d msura da un sstema d untà d msura A ad un sstema B basta conoscere l cosddetto fattore d raualo r, ossa l rapporto tra le due untà d msura ne due sstem, rferte a uno d due quest. Consderamo l caso partcolare n cu sstem d msura hanno le stesse randezze fondamental ma dverse untà d msura. La randezza è la stessa ne due sstem: G A G A B G B. (7) e seue che G A B A A rab, (8) G B dove n G F A F A... F A n A rab n G B F F n B... F B B (9) F A rab, F B è l fattore d conversone, o d raualo, A B. Da osservare che rba. (0) r AB.5. Esemp. el caso d untà d msura d randezze fondamental, l valore d r è fornto drettamente dalla loro defnzone. Ad esempo, supponendo d voler esprmere una massa d 4. K n untà cs basta rcavare K 3 r 0, ottenere dalla (8) L. Renna

13 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 3 K r 4. 0 e qund 4. K = 4. r = Analoamente, supponendo d voler esprmere n second la msura d un ntervallo d tempo d mn, s ha mn r 60, mn = r s = 0 s. s el caso d randezze dervate è utle determnare prma l fattore d raualo. S vola esprmere n m/s la veloctà v = 0 mla/ora. F mlo, F ora A A F m, F s B - mlo (ora) r AB - m (s) Percò s ha v = 0 r AB m/s = 8.9 m/s. B Per la conversone della denstà ρ ([ρ] = [M] [L] -3 [T] 0 ) dal sstema SI al cs, l fattore d raualo è 3 K m r AB 0 (0 ) 0 cm e dalla (9) s ottene K m 0 cm. SI 0 cs Infne eseuamo la conversone dell enera SI cs: Lavoro [L] = [M] [L] [T] -. r AB G G 3 (0 ) (0 Percò J = 0 7 er. A B F F 3 ( rab, ) ( rab, ) ( rab,3) ) A B () F F 0 7 A B F F.6 Stma d ordne d randezza Spesso rsulta utle conoscere solo approssmatvamente un dato rsultato relatvo a una certa randezza. Questa valutazone, basata su potes semplfcatrc, permette d stablre se sa necessara una determnazone pù accurata. In una stma d ordne d randezza rsultat sono accettabl entro un fattore 0. Dre che una randezza aumenta d due ordn d randezza snfca che l suo valore è aumentato d un fattore 0 = A B 3 L. Renna

14 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Strument d msura S è detto che n una msura s determna l rapporto tra la randezza da msurare G (msurando), e l untà d msura{g}: G = {G}. () S osserv che tale defnzone è dealzzata n quanto l valore vero della randezza non è perfettamente determnato. Medante le msurazon, tuttava, è possble fornre delle stme del valore vero, ossa un valore a cu è assocable un ntervallo, all nterno del quale è contenuto l valore vero con probabltà nota. La semampezza d questo ntervallo, qualora esso sa centrato rspetto alla stma, costtusce l ncertezza attrbuta al rsultato della msurazone.. Msure drette e ndrette Per msura s ntende qund l operazone volta a determnare una stma del valore vero d una randezza (valore della randezza), l cu rsultato è espresso come rapporto tra tale stma e l untà d msura scelta. S possono dstnuere due tp d msure: drette e ndrette. In una msurazone dretta s eseue drettamente l confronto, secondo un procedmento operatvo che fa parte della defnzone stessa della randezza, tra la randezza da msurare ed l campone, ovvero un altra randezza omoenea d msura nota. Sono esemp d msure drette: la msurazone d una lunhezza medante un reolo raduato (la msura è la dfferenza tra le raduazon corrspondent alle estremtà dell oetto); d una massa medante la blanca; d una temperatura medante un termometro a lqudo, ecc.. Una msurazone s dce ndretta quando è eseuta msurando drettamente altre randezze ad essa leate da una relazone determnata. Ad esempo, la veloctà meda d un corpo può essere calcolata come quozente tra lo spazo percorso (msurato drettamente con un metro campone) ed l tempo mpeato a percorrerlo (msurato drettamente con un oroloo). L untà d msura n cu vene espressa una randezza msurata ndrettamente dpende da quelle randezze d cu essa è funzone.. Component fondamental del strument d msura Uno strumento d msura è un dspostvo medante l quale s stablsce una corrspondenza tra una randezza e la sua msura. Cò s ottene traducendo la sollectazone apportata dalla randezza da msurare nella varazone (rsposta) d un altra randezza pù faclmente utlzzable. Uno strumento s dce d tpo analoco se la rsposta è letta su una scala raduata sulla quale s muove un ndce; s dce d tpo dtale quando la rsposta analoca è dtalzzata, ossa vene rappresentata n cfre su un supporto vsvo. Alcun strument sono dotat d nterfacce per la comuncazone con un computer sul quale trasferre e mmaazznare dat. Uno strumento s dce tarato quando è stata determnata la sua rsposta n corrspondenza d un certo numero d sollectazon note apportate da una randezza omoenea a quella da msurare. L operazone d taratura consente d leere drettamente l valore della randezza sollectante. Uno strumento può essere schematzzato come composto d tre element: ) rvelatore; ) trasduttore; 3) vsualzzatore. (F. ) L. Renna 3

15 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento rvelatore trasduttore vsualzzatore F. L elemento rvelatore dello strumento è costtuto da un apparato sensble alla randezza da msurare. Esso, nteraendo con la randezza, modfca la sua forma o un altra sua caratterstca. 7 Il trasduttore è quella parte dello strumento che asce sulla randezza d partenza trasformandola n una d un altra spece, pù facle da utlzzare. Il vsualzzatore o lettore ha la scopo d fornre vsvamente o rafcamente l rsultato della msura, sntetzzando così le operazon svolte dal rvelatore. Possamo rassumere la funzone de component d uno strumento nel modo seuente. Il rvelatore nterasce con la randezze fsca G della quale s vuole conoscere l valore V(G). Il trasduttore trasforma l nformazone ottenuta dal rvelatore n una randezza G pù facle da utlzzare. Il vsualzzatore assoca a G l valore R(G ) (dove R è la rsposta dello strumento). Da osservare che R(G )= R(G (G))= R(G). Da operazon d taratura, attraverso R(G) s rsale a V(G). La taratura dello strumento s eseue rlevando le rsposte dello strumento n corrspondenza d valor d G à not n qualche altro modo, scché ad on valore della rsposta dello strumento sa possble far corrspondere l valore della randezza che ha prodotto la sollectazone rferto all untà d msura. 8.3 Caratterstche del strument d msura Le caratterstche prncpal del strument sono: l ntervallo d funzonamento, la prontezza, la sensbltà, la precsone..3. Intervallo d funzonamento L ntervallo d funzonamento è dato dal valore massmo (portata) e mnmo (sola o sensbltà) della randezza n esame che lo strumento è n rado d msurare. Eseuendo msure d valor maor della portata v è la possbltà d danneare lo strumento, e l eventuale msura ottenuta non è pù leata all effettvo valore della randezza V(G) n modo noto o rproducble. La maor parte del strument ha una portata lmtata e sola nulla. 7 Ad esempo, n un termometro l elemento sensble è rappresentato dal mercuro. 8 Per tarare un termometro, ad esempo, occorre rlevare, n corrspondenza d alcune temperature note d una sostanza, le altezze della colonnna d mercuro. Le temperature d rfermento possono essere quelle che caratterzzano opportun cambament d stato della sostanza. L. Renna 4

16 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento.3. Prontezza La prontezza è una caratterstca dello strumento leata al tempo necessaro (tempo caratterstco) affnché esso rsponda ad una varazone della randezza n esame. Quanto mnore è l tempo caratterstco, tanto maore è la prontezza. In enerale la prontezza rappresenta la rapdtà con cu lo strumento è n rado d fornre l rsultato d una msura. =/.7 * ntervallo d varazone τ = s F. Un termometro a mercuro, nzalmente alla temperatura ambente d o C vene mmerso n un bano d lqudo alla temperatura d 00 o C. S osserverà che l mercuro comnca a salre luno la scala prma velocemente po pù lentamente, fno ad arrvare al valore d temperatura corrspondente, n un tempo approssmatvamente dell ordne d qualche decna d second. Questo ntervallo d tempo dà un ndcazone sulla prontezza dello strumento. Sa R t (G) la rsposta dello strumento alla sollectazone G al tempo t. Se τ è l ntervallo d tempo necessaro perché lo strumento reasca a G, allora la prontezza è leata alla quanttà /τ. La prontezza è tanto maore quanto pù pccolo è τ. Tpcamente la rsposta n t/ funzone d t assume la forma R t ( G) R( G) [ R( G) R0 ] e (F. ). La msura delle varazon d G va presa n consderazone solo dopo un ntervallo d tempo ΔT» τ..3.3 Curva d rsposta e scale Al varare della sollectazone la rsposta d uno strumento vara secondo le le che ne reolano l funzonamento. Percò on strumento è caratterzzato da una funzone R(G) che lea la rsposta R alla sollectazone G. Affnché lo strumento sa utlzzable senza ambutà, è necessaro che a on valore d G corrsponda uno ed un sol valore d R e vceversa 9. L ntervallo d defnzone della funzone R(G) prende l nome d campo d msura. el caso d uno strumento analoco, la funzone R(G) defnsce la scala dello strumento, coè la successone delle poszon dell ndce corrspondent a varazon costant della sollectazone. Sa ΔG = u = cost, R(0) = 0, G = n u. 9 La corrspondenza può non essere bunvoca ovunque, purché lo strumento sa utlzzato nelle reon n cu lo è. L. Renna 5

17 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento R G* = portata Scala lneare: R(G) = kg Rsposta R(u) (dv) 0 ku ku 3ku 4ku O G* G Sollectazone G(u) 0 u u 3u 4u F.3 La rsposta dello strumento sarà una funzone d u. Se la scala è lneare s ha R(u) = nku (F.3), se la scala è quadratca R(u) = k(nu) = n ku (F.4). R G* = portata Scala quadratca: R(G) = kg Rsposta R(u) (dv) 0 ku 4ku 9ku Sollectazone G(u) 0 u u 3u O G* G F Sensbltà Genercamente, s dce che uno strumento è tanto pù sensble quanto pù pccole sono le varazon della randezza da msurare che esso è n rado d ndcare. el strument tarat a lettura dretta, cò corrsponde all ntervallo mnmo leble sulla raduazone (rsoluzone) attraverso dspostv d lettura de qual lo strumento è fornto. Pù n enerale la sensbltà è defnta nel modo seuente. Data una varazone ΔV(G) del valore della randezza G, a questa è assocata una varazone della rsposta ΔR(G) dello strumento. La sensbltà è defnta come l lmte per ΔV(G) 0 del rapporto R( G) / V ( G) : dr( G) s () dv ( G) La sensbltà rappresenta dunque la pendenza della curva d rsposta che nel strument a scala non lneare assume valor dfferent ne dvers punt della curva. La sensbltà, nfatt, è n enerale una funzone arbtrara d G, ed R(G) può non dpendere lnearmente da G (strument a scala non lneare). Gl strument non sono n rado d rvelare varazon nfntamente pccole della sollectazone. È opportuno pertanto esprmere la sensbltà n termn delle varazon fnte R(G) e V (G) : R( G) s. (3) V ( G) La sensbltà ha dmenson [G] -. L. Renna 6

18 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento La sensbltà s d uno strumento lmta la conoscenza del valore V(G). Infatt, se a causa delle caratterstche costruttve dello strumento le msure non permettono d dstnuere tra valor d R che cadono all nterno del medesmo ntervallo ΔR(G), la conoscenza d V(G) è affetta da un ndetermnazone d valore ΔV(G) = ΔR(G)/s, che s chama ncertezza d sensbltà. Indcato con M(G) l rsultato d una data operazone d msura effettuata su G, l rsultato della msura s scrve: M(G) ± ΔV(G). (4) Percò lo strumento non è n rado d dstnuere valor che cadono all nterno d un ntervallo par a ΔV(G) ntorno al valore msurato, non è coè sensble nell ntervallo suddetto. S osserv che s può ottenere M(G) = V(G) solo nel caso deale d una msura esente da error. In uno strumento analoco la rsposta s esprme n dvson e la sensbltà s msura n dv/{g}, dove {G} è l untà d msura della sollectazone. el strument analoc n cu R(G) può assumere valor contnu la suddvsone della scala s fa corrspondere propro a ΔV(G): n tal modo, asseme al valore della msura s lee anche l ncertezza assocata alla sensbltà. 0 Per strument dtal, la sensbltà corrsponde ad una untà sull ultma cfra esbta dallo strumento, anche se non ha molto senso parlare d sensbltà ma solo d ncertezza d sensbltà (non è dentfcable nvece drettamente la randezza che fune da rsposta). Indcata con ΔR la mnma varazone d rsposta che s è n rado d apprezzare, dalla defnzone d sensbltà s ha ΔV(G) = ΔR/s. (5).3.5 Precsone La precsone ndca la capactà d uno strumento d fornre sempre lo stesso valore della rsposta R(G) on volta che questo sa sollectato dallo stesso valore della randezza V(G). In effett, n qualsas dspostvo R(G) non dpende solo da V(G). s = /ΔG precsone < della precsone > della ncertezza d sensbltà ncertezza d sensbltà ΔG G F.5 G 0 S pone ΔV = ΔR/ s= dv/s. Ad esempo, n un termometro a lqudo avente sensbltà 5 dv/ o C una dvsone corrsponde a 0. o C. L ncertezza della msura è dunque d 0. o C. Come nel caso del strument a rsposta dscreta, l ncertezza della msura può essere assunta par a mezza untà sulla cfra meno snfcatva. L. Renna 7

19 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento ella msurazone d una randezza fsca, anche eseuta n condzon d rpetbltà, sono sempre present perturbazon le qual possono produrre fluttuazon nella rsposta dello strumento. La presenza delle fluttuazon è dovuta a cause nerent sa le varazon della randezza sotto msura che le caratterstche costruttve del strument. el caso d uno strumento tarato cò s evdenza quando l enttà d tal fluttuazon è maore della mnma varazone d rsposta apprezzable ΔR. In questo caso la rsposta a una data sollectazone può assumere valor dfferent, per cu rsultat M(G) d operazon d msura dello stesso valore d V(G), eseute sotto le stesse condzon, non sono dentc: s ottene nvece una dstrbuzone d valor d M(G) (F. 5). Quanto mnore è la larhezza della dstrbuzone (quando essa dpenda dalle caratterstche dello strumento 3 ) tanto pù rpetble è l suo funzonamento, mlore la qualtà delle msure e tanto maore può essere defnta la precsone dello strumento..4 Accuratezza Le consderazon precedent relatve al concetto d precsone prescndono dall esstenza o meno d error sstematc 4, per cu anche un rsultato d precsone nfntamente rande può dfferre sensblmente dal valore vero. Il rsultato d una msurazone è tanto pù accurato quanto pù esso è vcno al valore vero, coè quanto pù pccolo è l corrspondente errore sstematco. Poché l valore vero non è noto, non s può attrbure un valore determnato all accuratezza. Se però è possble stmare l errore sstematco, s può esprmere l accuratezza dandole l snfcato d lmte superore per l errore sstematco (assoluto o relatvo). 5.5 Offset È ndcato come offset l eventuale valore non nullo ndcato erroneamente dallo strumento nel caso n cu la randezza da msurare è posta uuale a 0. A proposto delle condzon d rpetbltà s veda l Captolo 3. 3 Se le fluttuazon dpendono anche dalla randezza, s deve parlare d precsone del rsultato. 4 Gl error sstematc sono dscuss nel Captolo 3. 5 Se una lunhezza deve essere msurata con l accuratezza d cm, l errore sstematco assoluto non deve essere superore ad cm. Un accuratezza d ordne 0 comporta che l errore sstematco relatvo sa non superore a 0. L. Renna 8

20 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 3 Error nelle msure 3. Rappresentare le msure essuna randezza fsca può essere determnata con precsone assoluta ma è sempre affetta da un ndetermnazone o errore. On msura, nfatt, mplca un udzo sull eualanza tra la randezza nconta e la randezza campone (o un suo multplo o sottomultplo). È charo che tale udzo non può essere assoluto, ma dpende dalle condzon n cu la msura vene effettuata. Affnché rsultat d una msura abbano snfcato è necessaro determnarne l errore o ncertezza. Il rsultato d una msura ha percò due component essenzal: () un valore numerco (n un dato sstema d untà) che dà la mlore stma possble della randezza msurata, e () una ncertezza assocata con l valore stmato. ella msura d lunhezza effettuata con una ra mllmetrata, sarà possble effettuare l confronto con un ncertezza d mezzo mllmetro. raduazon dv: mm cm F. Se ad esempo s osserva che, posto uno de bord della lunhezza da msurare n corrspondenza dello zero, l altro s trova tra le raduazon 463 e 464 (fura ), s potrà scrvere: m l m o anche, pù comunemente: l ( ) m S dce n questo caso che la msura d lunhezza è stata eseuta con un ncertezza d sensbltà d 0.5 mm. Se la msura s eseue con una ra raduata n centmetr, l ncertezza d sensbltà è d 0.5 cm. on ha senso rportare l rsultato d una msura ndcando un numero d cfre decmal maore d quello necessaro per ndcare l ncertezza d sensbltà della msura. In enerale qund l rsultato d una msura sarà espresso nella manera seuente Valore msurato = stma ± ncertezza e, n formula, G = M(G) ± ΔG. () Una msura rchede percò due tp d operazon: - mlore stma del valore vero della randezza; - valutazone dell ncertezza su tale stma (stma dell errore). L. Renna 9

21 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento S chama errore la dfferenza tra la stma, rsultato della msurazone M(G), e l valore vero V(G) della quanttà msurata (msurando). on essendo conoscble l valore vero, non lo è neanche l errore. L ncertezza d msura rappresenta una stma dell errore. Rsultato e ncertezza spermentale devono essere scrtt n modo coerente, nel senso che, nell esprmere l rsultato d una msura, vanno ndcate solo le cfre snfcatve, ossa tutte e sole le cfre ottenbl dall operazone d msura. Le ncertezze sono normalmente arrotondate ad una cfra snfcatva (al pù due quando la prma cfra snfcatva è o 6, o eventualmente nel caso d ncertezze statstche 7 ). L ultma cfra snfcatva d on rsultato deve essere dello stesso ordne d randezza (coè nella stessa poszone decmale) dell ncertezza. 3. Classfcazone del error In enerale, le msure rpetute della stessa randezza con lo stesso strumento, nelle stesse condzon non danno lo stesso rsultato. I motv sono da attrbure alla precsone fnta dello strumento o all mpossbltà d controllare tutte le condzon d msura. Se però l ncertezza d sensbltà è maore dell errore dovuto alla precsone fnta dello strumento o alle ncertezze ntrnseche della msura, s ottene sempre lo stesso rsultato e s può stmare l errore con l ncertezza d sensbltà. Per dare un snfcato quanttatvo precso al rsultato d una msurazone è utle dstnuere due dvers tp d error, qual possono coesstere: l error sstematc e l error casual. 3.. Error sstematc Gl error sstematc falsano la msura sempre nello stesso senso. Ess possono essere dovut all uso d uno strumento non perfettamente tarato o usato n condzon dverse da quelle d taratura o n modo mpropro 8. Altre sorent d errore sstematco sono effett estern che possono cambare l rsultato dell espermento, ma per qual le correzon non sono ben note. Eseuendo pù volte la msurazone n condzon d rpetbltà, 9 rsultat fluttueranno casualmente attorno a un valore sstematcamente dverso dal valore 6 Se ΔG = 0.4 l arrotondamento a ΔG = 0. comporta la rduzone del 40%: è melo allora tenere due cfre e valutare ΔG = Coè nella stma d error casual (pararafo 3..). 8 Ad esempo, la poszone sbalata rspetto alla scala d lettura, l avvo sstematcamente n antcpo o n rtardo d un contasecond, l uso d un metro campone luno 999 mm (che fornrà sempre delle msure errate per eccesso). 9 Per condzon d rpetbltà s ntende l permanere delle seuent crcostanze: procedmento d msurazone, osservatore, strumento (usato nelle stesse condzon), luoo, e che le rpetzon sano eseute entro un breve ntervallo d tempo. La rpetbltà de rsultat, coè l accordo tra rsultat d msurazon successve della stessa randezza effettuate nelle stesse condzon, può essere espressa quanttatvamente n termn delle caratterstche d dspersone de rsultat, per esempo medante la cosddetta dspersone massma, ossa la dfferenza tra l massmo e mnmo valore ottenuto (s veda l Captolo 4). L. Renna 0

22 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento vero del msurando. A causa dell errore sstematco l valore msurato M(G) è dfferente dal valore vero V(G) per una quanttà che rmane la stessa al rpetere della msura. L errore sstematco è defnto come la dfferenza tra tale valore e l valore vero del msurando. Gl error sstematc possono essere rvelat cambando strumento o metodo d msura. Una volta ndvduato l errore sstematco, s può apportare alla msura una correzone sotto la forma d un termne addzonable alebrcamente o d un fattore moltplcatvo. Dal error sstematc c s può dunque lberare calbrando attentamente l strument, o ntroducendo una opproprata correzone a rsultat ottenut. Gl error sstematc rand possono e debbono essere elmnat n un espermento. I pccol error sstematc sono nvece sempre present. Ad esempo nessuno strumento può essere calbrato perfettamente. Il motvo per cu normalmente sono rcheste numerose conferme ndpendent de rsultat spermental (specalmente usando tecnche dfferent) è dovuto al fatto che dfferent apparat d msura post n luoh dvers possono essere affett da error sstematc dfferent. 3.. Error casual Gl error casual (o accdental) sono error che fluttuano passando da una msura alla successva. Ess danno rsultat che sono dstrbut attorno a un valore medo. S suppona d eseure pù volte la msurazone d una stessa randezza fsca n condzon d rpetbltà. I rsultat possono fluttuare per l nfluenza d cause sconoscute all osservatore, oppure note ma che producono effett qual sfuono snolarmente al suo controllo. L errore casuale è defnto come la dfferenza tra l rsultato d cascuna d tal msurazon ed l valore vero del msurando. Il valore msurato M(G) è dfferente dal valore vero V(G) per una quanttà che vara casualmente al rpetere della msura. La natura casuale d questo tpo d errore fa sì che esso possa assumere d volta n volta valor sa postv che neatv, d modulo varable. Per un numero nfntamente rande d msurazon la meda artmetca del error casual sarebbe qund nulla. Poché però è mpossble eseure nfnte msurazon, da datspermental è possble ottenere soltanto una stma dell errore casuale. Gl error casual dsponono le msure n drezon arbtrare mentre quell sstematc le dsponono verso una snola drezone. Alcun error sstematc possono essere elmnat, o se ne può tenere conto. Gl error casual sono nvece nevtabl essendo dovut a svarat effett, qual attrt, mprecson meccanche, nfluenze esterne (pccole varazon d temperatura, d pressone, presenza d vbrazon, e così va), snolarmente pccol, ma d numero elevato e con rsultato apprezzable a valor d sensbltà strumentale suffcentemente rand. Gl error Per rproducbltà de rsultat s ntende nvece l accordo tra rsultat d msurazon della stessa quanttà effettuate n condzon dverse. Il cambamento delle condzon può ruardare: l prncpo su cu è basata la msurazone; l metodo d msurazone; l osservatore; lo strumento; l luoo n cu s svole la msurazone; le condzon n cu s svole la msurazone; l tempo n cu è effettuata la msurazone. L. Renna

23 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento accdental non possono essere elmnat, ma l loro contrbuto può essere quantfcato attraverso l anals statstca de rsultat Accuratezza e precsone el caratterzzare una msura n relazone al error n tal modo classfcat, s suole dstnuere tra accuratezza e precsone della msura: la prma è n relazone all enttà del error sstematc, la seconda è leata alla presenza d error casual. rande accuratezza rande precsone rande accuratezza scarsa precsone scarsa accuratezza scarsa precsone scarsa accuratezza rande precsone (stma d) V(G) F. S defnsce, nfatt, accurata una msura per la quale sa stato rdotto al mnmo l contrbuto del error sstematc, s dce precsa una msura per la quale sa suffcentemente pccola l ampezza de valor msurat attorno alla meda (F. ). ormalmente n una msura c sono sa ncertezze casual che sstematche. In una buona msura l errore sstematco deve essere molto pù pccolo dell errore casuale Incertezza frazonara L ncertezza ΔG ndca la precsone della msura. Essa da sola può tuttava non essere suffcente a determnare la bontà della msura, la quale dpende anche dal valore della randezza msurata. Sano = 0. ± 0. cm =. ± 0. cm due msure d lunhezza effettuate con ncertezza d sensbltà Δ = mm. S defnsce ncertezza frazonara, o relatva, la quanttà r () nel caso delle msure precedent s ha ( 0.%) ( 0%). Per ottenere nella seconda msura la stessa precsone relatva che s ha nella prma, occorre utlzzare uno strumento 00 volte pù precso. L ncertezza relatva consente d confrontare la qualtà d msure d randezze non omoenee; essa è strettamente colleata alla nozone d cfre snfcatve (4 per e per ). L. Renna

24 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 3..5 Cfre snfcatve e arrotondament Per numero d cfre snfcatve s ntende l numero d tutte le cfre scrtte, compreso lo zero, a partre da destra, coè da quelle d rano meno elevato, fno all ultma dversa da zero a snstra. L ultma cfra a destra con cu s scrve l numero è quella che ndca l rado d precsone con cu s rtene d conoscere la randezza che esso rappresenta. Scrvere = 5.3 m snfca che 5.3 m < < 5.33 m. Percò =.8 è dverso da y =.80 perché nel prmo s rtene che.7 < <.9, nel secondo che.79 < y <.8. La tabella seuente llustra le reole usate convenzonalmente per determnare quante sono le cfre snfcatve n un numero. umero Cfre snfcatve Tabella umero Cfre snfcatve ell elmnare le cfre eccedent occorre lascare come ultma quella che tene pù adeuatamente conto d quelle elmnate, secondo la seuente reola 0 : L arrotondamento alla n-sma cfra decmale s effettua sopprmendo le rmanent cfre decmal se la n + -esma è 0,,. 3, 4, aumentando d una untà l n-esma cfra se la n + -esma è 5, 6, 7, 8, 9. Gl esemp che seuono mostrano arrotondament a tre cfre snfcatve effettuat applcando le reole ndcate: numer arrotondament e calcol numerc che convolono randezze fsche è convenente effettuare l arrotondament a lvello del rsultato fnale ed eseure calcol ntermed conservando una o due cfre n pù d quanto può sembrare necessaro. L. Renna 3

25 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 4 Incertezza d sensbltà - ncertezza massma Sa X una randezza fsca, e un suo valore msurato. Eseuta una sere d msure rpetute, s possono presentare due dfferent stuazon. (A) Le msure danno lo stesso valore. Il fatto s presenta quando le ncertezze d msura sono solo quelle d sensbltà del strument mpeat. In questo caso l ncertezza d sensbltà è maore della fluttuazone ntrnseca delle msure. Rcordamo che l ncertezza d sensbltà d uno strumento rappresenta l ampezza dell ntervallo entro l quale può varare la sollectazone producendo la stessa rsposta. È nteso convenzonalmente che se l ncertezza d sensbltà è Δ e l valore centrale dell ntervallo d ampezza Δ, la sollectazone possa trovars con uuale probabltà n on punto all nterno dell ntervallo d ampezza ½ Δ, + ½ Δ. In uno strumento dtale l ncertezza d sensbltà è la varazone della sollectazone che corrsponde alla varazone d un untà della cfra d mnor valore vsble sul dsplay. Per l strument analoc tratt della scala sono senat convenzonalmente n modo tale che l ntervallo tra due tratt successv della dvsone corrsponda alla ncertezza d sensbltà dello strumento. 0 a G F. Supponamo d eseure la msura d una lunhezza con un rhello. Sa Δ V(G) = dv/s l ncertezza d sensbltà. Allora, con rfermento alla fura, a V(G) a + ΔV(G) e la mlore stma d G sarà: M(G) = a + Δ V(G). Ad esempo, se s = dv mm -, l ncertezza d sensbltà vale ΔV(G) = mm, e se a = 3 mm, M(G) = 3.5 mm, l ncertezza d lettura = ΔV(G) = 0.5 mm, V(G) = mm. (B) Le msure rpetute della stessa randezza danno valor dfferent:,,,. Cò s presenta quando l ncertezza d sensbltà è mnore della fluttuazone ntrnseca delle msure. In questo caso è convenente dsporre le msure n raruppament che corrspondono a ntervall d ampezza almeno par all ncertezza d sensbltà, e rappresentare dat così raruppat n un daramma /s smle a quello mostrato n fura, n cu è F. vsualzzata la dstrbuzone de valor ottenut. Come mlore stma della randezza s può assumere la meda artmetca delle msure: Le ustfcazon dell assunzone sono rportate nel Captolo 6. L. Renna 4

26 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento. () S attrbusce alle msure un ncertezza proporzonale alla larhezza della dstrbuzone de rsultat della msura ma mn. () In questo caso s presume che, rpetendo ulterormente la msura, l rsultato cada nell ntervallo d estrem e. In entramb cas (A e B) s dce che è stato assenato alla randezza una errore massmo, che s stma o con l ncertezza d sensbltà o con la semdspersone massma delle msure. L ncertezza massma rappresenta un lmte superore dell ncertezza e n talun cas essa costtusce solo una rossolana stma dell errore d msura. Gl strument che hanno la caratterstca (A) sono strument a bassa sensbltà. Msure rpetute, salvo operazon errate dello spermentatore, fornscono sempre lo stesso rsultato. Se l ncertezza dovuta al error casual è nvece maore d quella dovuta alla sensbltà, s hanno strument d buona (o alta) sensbltà (B). Rpetendo le msure s ottenono, n questo caso, rsultat dvers. In questo caso s dce che l ncertezza è d tpo statstco: per mezzo de rsultat della msura s può allora dare una stma della probabltà che l valore della randezza msurata sa compreso n un dato ntervallo. Quest tp d error possono essere stmat acché hanno reolartà statstche. S può valutare l errore presumblmente commesso nella msura attraverso un anals de dat spermental provenent dalle msure effettuate. 4. Propaazone del error massm 4.. Funzon alebrche Quando una randezza fsca G è determnata ndrettamente, coè attraverso le msure d altre randezze G, combnate per mezzo d una qualche operazone matematca, occorre stablre come l error d msura sulle randezze d partenza s nfluscono sull errore della randezza G. el caso pù semplce l error delle randezze msurate drettamente sono stmat tramte le ncertezze d sensbltà del strument mpeat, d valore molto pù pccolo d quello delle randezze stesse, e l ncertezza cercata su G è l ncertezza massma, quella coè che defnsce l ntervallo entro l quale s rtene debba cadere l valore vero d G. Consderamo dapprma l caso n cu una randezza z sa determnata dalla somma d due altre randezze. Sa z = + y; dette Δ e Δy le ncertezze d e y s ha z ma = ( + Δ) + (y + Δy) = ( + y) + (Δ + Δy) ella teora del error, come ncertezza d una delle msure rpetute ottenute s prende la devazone standard camponara (s veda l Cap. 6). La teora del error è una teora probablstca la cu applcazone s fonda sulla lee emprca de rand numer (Cap. 7), secondo la quale se l numero d prove è rande alla probabltà (teorca) s può sostture la frequenza (spermentale) relatva. Quando l numero delle msurazon è pccolo (ad esempo tre o quattro) è preferble utlzzare come ncertezza la semdspersone massma. S può tuttava determnare l rado d fduca dell ncertezza statstca anche nel caso d poche msurazon utlzzando un opportuna dstrbuzone (detta t d Student), come è descrtto nel Cap. 7. L. Renna 5

27 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento z mn = ( Δ) + (y Δy) = ( + y) (Δ + Δy) e qund Δz = Δ + Δy. (3) Se z = y, s ha z ma = ( + Δ) (y Δy) = ( y) + (Δ + Δy) z mn = ( Δ) (y + Δy) = ( y) (Δ + Δy) e qund ancora Δz = Δ + Δy. el caso n cu z = y, assumendo per l momento, y > 0, s ha z ma = ( + Δ)(y + Δy) = y + yδ + Δy + ΔΔy z mn = ( Δ)(y Δy) = y yδ Δy + ΔΔy Se assumamo che» Δ, y» Δy, l ultmo termne nelle eualanze può essere trascurato e s ottene: z y y, (4) e, passando all errore relatvo, z y y y, (5) z y y ossa l ncertezza relatva sul prodotto è uuale alla somma delle ncertezze relatve d cascuno de fattor. Una semplce nterpretazone eometrca s ha se z è l area d un rettanolo d lat e y (F. 3). ΔΔy Δ Δy y F.3 Se, y < 0, poché l ncertezza è sempre postva, s dovranno prendere valor assolut: z y y (6) z z y. (7) y el caso della dvsone z= /y s ha zma, Mn y y e qund y y y y y y z. y y y y( y y) y yy Trascurando yδy rspetto a y e ntroducendo valor assolut s ottene: L. Renna 6

28 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento y y z, (8) y e per l ncertezza relatva: z y y y y. (9) z y y I rsultat ottenut suerscono le seuent consderazon. L ncertezza assoluta sul rsultato d una somma o dfferenza è domnato dalla pù rande delle ncertezze de snol termn 3. L ncertezza sul rsultato d un prodotto o dvsone è determnata prevalentemente dalla randezza con l ncertezza relatva maore 4. In enerale è d scarsa utltà mlorare la msura che ha l ncertezza (relatva) pù pccola. 4.. Funzon arbtrare. Caso enerale Le relazon precedent possono essere eneralzzate al caso n cu la randezza z sa una funzone arbtrara d pù randezze. Inzamo con l osservare che nel caso del prodotto d due randezze z y, la relazone Δz = yδ + Δy non è altro che l rsultato dell approssmazone al prmo ordne della formula d Taylor per le funzon d due varabl: z z z y (0) y dove z y è la dervata parzale d z rspetto a (y è lascato costante) z è la dervata parzale d z rspetto a (y è lascato costante) y Analoamente, per la somma o la dfferenza, basta osservare che z z, y e la relazone (0) fornsce Δz = Δ + Δy. Per la dvsone s ottene z z ; y y y e qund y y z. () y Il snfcato dell approssmazone al prmo ordne può essere charto attraverso una rappresentazone rafca, nel caso n cu z sa una funzone arbtrara della sola varable : z = f(). 3 Se la lunhezza l è nota al mm e la lunhezza l è nota a /0 d mm l ncertezza su l = l + l è determnato da Δl e non ha senso cercare d mlorare l. 4 Potrebbe non aver senso confrontare le ncertezze assolute, n quanto le randezze possono anche non essere omoenee, e qund non confrontabl. L. Renna 7

29 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Un approssmazone del prmo ordne equvale ad usare al posto d f() la funzone lneare y() d equazone (F. 4) df y( ) f ( 0) ( 0) d. () 0 D conseuenza s può porre f f ( 0 ) f ( 0) y( 0 ) f ( 0), (3) da cu, utlzzando la (), s ha df ( ) f ( 0 ) f ( 0) d, 0 ossa df f. (4) d f( 0 + Δ) y Δf() Δy() f() f( 0 ) y() O 0 F Δ Possamo ora eneralzzare rsultat precedent nel seuente modo. Rferendoc alle ncertezze massme, sa G funzone d n randezze G, G, G n, G f ( G, G,..., Gn ). (5) On randezza G sa stata ottenuta con ncertezza d sensbltà ΔG, medante msura dretta; valor msurat sano qund: G G, G G,..., G n G n. (6) Il valore d G msurato sarà dato dalla (5). Resta da valutare ΔG. S consdera l dfferenzale totale d G, che è la somma de prodott delle dervate parzal della funzone per corrspondent dfferenzal delle varabl ndpendent G G G dg dg dg... dgn. (7) G G Gn Passando dalle quanttà nfntesme a quanttà pccole ma fnte, s ha, a meno d termn d ordne superore, G G G G G G... Gn, (8) G G Gn e poché samo nteressat alla massma varazone d G: L. Renna 8

30 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento G G G G G G G n G G... Gn G. (9) G G La relazone (9) è rorosamente valda solo se G dpende lnearmente dalle G. È valda approssmatvamente se ΔG sono pccol rspetto a G. ΔG è l ncertezza massma. n Tabella Relazone tra z e (,y) Relazone tra Δz e (Δ,Δy) z = + y z = y z y z y z = y z= /y z z z z y y y y z = n z n z z = ln z z = e z z Questa formula è usata per valutare la propaazone del error a pror, nel caso d dverse sensbltà del strument utlzzat nelle msure drette Propaazone dell ncertezza relatva Una formula partcolarmente semplce per valutare la propaazone delle ncertezze relatva nelle msure ndrette s ha nel caso seuente. S sa che l rapporto tra l dfferenzale d una funzone e la funzone stessa non è altro che l dfferenzale del loartmo della funzone, ossa d/ = d(ln); qund s può scrvere per l ncertezza relatva r ln( ), (0) relazone partcolarmente utle quando è espresso come prodotto d funzon h( ) k( y) l( z), () nel qual caso d d[ln ] d[ln( h( ) k( y) l( z))] d[ln h( )] d[ln k( y)] d[ln l( z)] dh dk dl. h k l L. Renna 9

31 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Introducendo le ncertezze, s ottene la semplce formula dh dk dl y h( ) d k( y ) dy l( z dz 0 0 y y 0 zz0 ) 0 0 per la propaazone dell ncertezza relatva, avendo ancora utlzzato valor assolut de snol termn Esemp ) S vuole determnare la somma d due masse, le cu msure sono state eseute ponendole n due recpent (d massa dfferente) d una blanca e msurando a parte la massa de recpent. I rsultat delle msure sano: M (massa + recpente ) = 640±0 m (massa recpente ) = 84 ± M (massa + recpente ) = 860 ± 0 m (massa recpente ) = 9 ± La massa totale è M = M m + M m = 34 e l ncertezza ΔM = Δ M + Δm + ΔM + Δm = 3. La msura è dunque: M = 30 ± 30 ) el msurare lo spessore s d lamern d rame sottl, s può rdurre l ncertezza della msura se, anzché msurare lo spessore d cascun snolo lamerno, s msura dello spessore d n lamern sovrappost. Dalla relazone S S n s n s ns ns S S s, s. n n Sa, per n = 0, S (0) = 5.7 ± 0. cm. Allora cascun lamerno avrà spessore s = S/0 = 0.57 ± 0.0 cm. 3) L accelerazone d ravtà può essere determnata msurando l altezza da cu è lascato cadere un oetto, e l tempo mpeato a percorrerla. S suppona che le msure abbano fornto seuent rsultat: t =.6 ± 0. s; h = 3.8 ± 0. m. L accelerazone s ottene dalla relazone: = h/t = 0.8 m/s. Valutate le ncertezze Δt/t = 6.3%, Δh/h = 0.7%, s ha: Δ/ = Δt/t + Δh/h = 3.3% Δ = 0.8 m/s 0.33 =.4 m/s S ottene qund: = 0.8 ±.4 m/s. z () L. Renna 30

32 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Per dmnure l ncertezza va dunque mlorata la msura d t! 4) Msurare l volume d un clndro. S suppona d msurare l dametro d e l altezza h d un clndro utlzzando un calbro ventesmale la cu ncertezza d sensbltà è Δl = 0.05 mm. Le msurazon abbano fornto h = 4.45 mm e d = 4.0 mm. Il volume è espresso dalla relazone d 3 V h 9.36 cm. Le ncertezze relatve sulle msure delle lunhezze sono h d 0.00, h d d h F.5 L ncertezza relatva del volume è V d h V d h La msura del volume è dunque Volume = V ± ΔV = (9.4 ± 0.) cm 3. 5) Per mlorare la msura del perodo d oscllazone d un pendolo τ ~ 0.5 s supponendo che l ncertezza sa d 0. s, è convenente msurare l tempo mpeato dal pendolo per compere un opportuno numero d oscllazon. In questo modo l ncertezza dmnusce. S hanno nfatt seuent rsultat: oscllazone Δt/t ~ 0%. 5 oscllazon t =.4 ± 0. s; τ = 0.48 ± 0.0 s, Δτ/τ = 4%. 0 oscllazon t = 9.4 ± 0. s; τ = ± 0.005, Δτ/τ =%. 6) S vola calcolare l seno d un anolo la cu msura è θ = 5 ± rad. Per calcolare sn(θ), s trasforma l anolo n radant, θ =.8±0.03 rad, s calcola cos(θ) Δθ = 0.0 rad, ed nfne: sn(θ) = 0.8 ± 0.0 7) Se a =3.0±0. determnare e a e la sua ncertezza. L. Renna 3

33 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 5 Rappresentazone rafca de rsultat spermental ella pratca spermentale è convenente rappresentare dat medante rafc. Le raon sono molteplc. I rafc, nfatt, costtuscono una forma concsa d rappresentazone, consentono l controllo dell andamento delle msure effettuate, llustrano vsvamente una lee o una relazone tra randezze, consentono d rcavare l valore numerco d randezze o parametr. el realzzare la costruzone de rafc convene seure alcune utl reole. S fssano nzalmente due ass (ortoonal) e su quest s stablscono due sstem d ascsse, coè s fanno corrspondere alle untà d msura {}, {y} delle randezze, y, da rappresentare rafcamente, due sement d lunhezze l, l y, arbtrare ma scelte con opportun crter 5. Sul ass devono essere ndcat nom delle varabl e le rspondent untà d msura; e punt spermental vanno rportat con le barre d ncertezza. È buona norma noltre nserre un ntestazone o una ddascala e ndcare eventual condzon d msura (temperatura, pressone, ecc.). In molt cas è opportuno trasformare la funzone d partenza y = f() n una funzone lneare d due nuove randezze, leate alle precedent da relazon determnate (lnearzzazone) o, n alternatva, utlzzare scale non lnear. In una scala lneare punt dell asse sono n corrspondenza lneare co numer real, coè defnscono sement le cu lunhezze, fssato un semento untaro, sono proporzonal a numer real. In una scala non lneare la lunhezza del semento dal enerco punto P all orne dell asse (y) è proporzonale al valore d una funzone () [h(y)], essendo (y) l numero reale assocato a P. S ntroduce una nuova coppa d ass cartesan X = (), Y = h(y) 6. La funzone ornara y = f(), nel nuovo pano (X, Y) dà orne alla curva che rappresenta la funzone h - (Y) = f [ - (X)], ossa Y = h{f [ - (X)]} = F(X). Le funzon h(y) e () sono scelte n modo tale che F(X) sa una funzone lneare d X. 5. Esemp d lnearzzazone Mostramo, attraverso alcun esemp, cas d lnearzzazone pù comun. (a) Funzone radce. Sa Posto funzone y c. X e Y = y, s ha Y = cx. Le due dfferent rappresentazon rafche della y 5 sono mostrate n fura. (b) Funzone esponenzale. Sa y ce a. S pone ax X, Y ln( y) ln( ce ) ln( c) ax. Un esempo numerco (c =., a = ) è rportato n fura. 5 La scelta va fatta n base all ntervallo n cu sono dstrbut valor delle randezze msurate e n base alla forma della relazone funzonale tra le randezze n modo che la rappresentazone rafca sa chara e d facle nterpretazone. Ad esempo per rappresentare rafcamente la retta y = m + q, l e l y vanno scelt n modo che essa form anol con l ass che sano crca uual. 6 Se () = a, h(y) = by s ha l caso normale con a/b rapporto tra le untà d msura. L. Renna 3

34 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento y 5 Y 5X F. m n (c) Potenza. Sa y c. Posto X lo a, Y lo a y, s ha my lo a c nx (n F.3 è rappresentato l caso con a = 0, m =, c = 0 e n = 3). y.e Y X 0.83 F. La scala non lneare pù usata è quella loartmca o semloartmca (Tabella ). 3 y 0 Y 3X F.3 L. Renna 33

35 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Scale Tabella Funzone Lneare Semloartmca (sem-lo) Loartmca (lo-lo) y = m + q y = ce a o y = c lo(b) y = c a S osserv che se X o Y, o entrambe, sono trascendent, l loro aromento deve essere admensonale, mentre e y, n enerale, non lo sono. In quest ultmo caso, l aromento della funzone trascendente s ntende allora dvso per la propra untà d msura. Il valore della randezza letto sulla scala s ottene percò moltplcando l valore letto, admensonale, per l untà d msura. 5. Costruzone d scale non lnear In alternatva al metodo llustrato precedentemente, s possono usare rafc costrut utlzzando scale non lnear su cu è possble rportare drettamente valor, y (F. 4). valore loartmo ,3003 0,477 0,6006 0, ,7785 0, , , valore 0,00 0,0 0, loartmo F.4 Una scala è una corrspondenza bunvoca tra punt P d una retta e numer real, che s stablsce orentando la retta, scelendo l orne O e fssando la funzone f() a un sol valore che lea la dstanza d cascun punto P da O al numero ad esso assocato. L. Renna 34

36 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento OP S f () O F.5 P Il fattore d scala S è una costante metrca arbtrara che esprme, nelle stesse untà con cu s msura OP, la lunhezza corrspondente al valore untaro d f(): OP S f (). Le sue dmenson sono [S ] = [L][f()] -. ella scala lneare OP a OP S, nella quadratca OP S e nella loartmca S lo, a 0, a. ella scala loartmca S rappresenta nelle untà d OP la lunhezza del semento = a. Il semento relatvo a = a n vale ns. La scelta della base è arbtrara perché corrsponde a cambare S, come s deduce dalla lo b relazone lo a lo a blo b. Una scala loartmca è una scala con la lo b a quale sono rportat su un asse sement proporzonal a loartm de numer real n una data base. Per esempo, se s scele la base 0, al numero corrsponde un semento d lunhezza nulla (n quanto lo 0 = 0), al numero un semento proporzonale a lo 0 = , al numero 0 un semento proporzonale a lo 0 0 =, al numero 00 un semento proporzonale a lo 0 00 = e va d seuto (F.4). Per rappresentare dat s possono utlzzare fol d carta loartmca (o sem-loartmca) che s trovano n commerco oppure s può costrure la scala del ass coordnat calcolando snol valor. 5.3 La mlore curva che s adatta a dat spermental Attraverso l anals rafca de dat spermental s può verfcare una lee supposta valda, o determnare la forma d una lee cercata. Data una sere d punt spermental, per ess passano nfnte curve. S assume tuttava, come potes d lavoro, la curva che passa per punt spermental e che ha la forma funzonale pù semplce. Una volta assunta una certa potes sulla forma della funzone, occorrerà determnare valor de parametr che ndvduano la mlor curva che spea dat spermental entro l error msurat. Il procedmento prende l nome d ft Ft lneare S consder l problema d determnare spermentalmente la costante elastca d una molla. S sa che l allunament d una molla dpendono dal modulo F della forza applcata secondo la lee d Hooke: F k ( l l ) () 0 La forza F può essere ottenuta attaccando una massa M all estremo lbero d una massa sospesa vertcalmente. ella fura 6 sono rappresentat nella tabella un esempo d rsultat spermental e l ft lneare corrspondente. Determnat parametr a e b della retta nterpolante y = a + b, s ottene, per l caso rappresentato n fura, k/ = a - = / mm - e qund k = 9.8/ /m = /m, avendo assunto = 9.8 m/s (non affetta da errore). L. Renna 35

37 l (mm ) Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento M() l(mm) 0 ± 5.00 ± ± 5.0 ± ± 5.8 ± ± 5.30 ± ± 5.40 ± ± 5.48 ± 0.0 l F l k 0 F Metodo della massma e mnma pendenza La mlore retta che rproduce dat spermental deve passare per rettanol ndvduat dalle barre d errore; rmane tuttava ancora molta arbtraretà. Un metodo rafco assa semplce per ndvduarla è l seuente. 5,6 5,5 5,4 5,3 5, 5, 5 4,9 ) y = ) y = F ( p ) F.7 Con rfermento a dat della tabella precedente, la retta ) passa per punt (0, 4.97) e (50, 5.50), la ) per (0, 5.0) e (50, 5.46). Percò a = ± e b = 4.99 ± 0.0. S traccano sul rafco le rette con la mnore e con la maore pendenza possble passant entro le barre d errore: ) y a b ) y a b. () Possamo assumere come mlor retta y a b (3) quella cu parametr a e b sono dat da L. Renna 36

38 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento a a a a b b b b a b. (4) Essa costtusce un raonevole compromesso, scuramente mlore d cascuna delle rette ) e ) mostrate n (). Utlzzando questo metodo possamo rappresentare col coeffcente anolare a della retta (3) la mlor stma della costante elastca della molla. L. Renna 37

39 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 6 Incertezze nelle msure rpetute 6. Error casual 6.. Valor medo Sa X una randezza fsca, e un suo valore msurato. Se s rpetono vare volte le msure, n presenza d error casual, s otterranno de valor,, 3 che n enere dfferranno tra loro. Supponamo d rpetere volte una msura e d trovare,,...,,...,. () S presenta l problema d quale sa l valore da assenare alla randezza n questone. Il prncpo adottato è d assumere come raonevole stma del valor vero della randezza (che rmane peraltro sconoscuto) la meda artmetca o valore medo (emprco) delle msure: C sono vare ustfcazon a favore d questa scelta: Tutt valor sono trattat alla stessa manera, e l rsultato è ndpendente dall ordne n cu sono fatte le msure. Se l error sono casual, allora ess devono dfferre dal valore medo sa n valore assoluto che per l seno. Se s separano le msure n due rupp, uno formato da tutt valor mnor della meda, l altro con quell maor, le msure s dsponono all ncrca n euale numero ne due rupp; e al crescere d due rupp tendono a essere eualmente popolat. Quando s calcola la meda artmetca, l scart dal valore vero s sommano alebrcamente: s ha qund una parzale cancellazone del error, coscché la meda artmetca dà un valore pù vcno al vero d quanto medamente non sano le snole msure. * Sa l valore vero (nconto) della randezza n questone. S chama errore della -esma msura la dfferenza fra l valore della snola msura e l valore vero: *. (3) La dfferenza fra l valore della snola msura e l valore medo delle msure (4) s chama devazone o scarto dalla meda della -esma msura. L errore δ da attrbure a è * * * ( ). (5) La meda artmetca ha propretà che la somma de quadrat del scart è mnma: s ( ) ( ) mnmo. (6) Infatt, eualando a zero la dervata della (6) () L. Renna 38

40 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento s ha ds( ) d ( ). d s( ) Inoltre, poché 0, s tratta effettvamente d un mnmo. d Per stmare l attendbltà meda delle msure s potrebbe pensare d fare la meda delle devazon Δ. Tuttava tale meda non è d alcun nteresse n quanto sempre nulla: 0 ( ) 0. (7) 6. Stma delle ncertezze C sono dvers mod n cu s può specfcare l ncertezza su valor msurat d un espermento rpetuto. La dstnzone prncpale che qu c nteressa è quella tra ncertezze massme e ncertezze statstche. 6.. Incertezza massma S determnano l massmo e mnmo valore dell nseme d dat, ma e mn, la cu dfferenza rappresenta la dspersone massma. S assume come ncertezza la semdspersone ma mn, (8) la quale costtusce un ncertezza massma. Vrtualmente nessuna msura dovrebbe ma cadere al d fuor dell ntervallo d estrem. 7 Il valore trovato è dunque. (9) Avendo assunto l ncertezza come ncertezza assoluta, l ncertezza relatva è data dal rapporto Incertezza relatva d = (0) Quando le msure a dsposzone sono poche (3 o 4, comunque meno d 0) è consuetudne assumere come ncertezza d msura la semdspersone massma (8). 6.. Devazone Standard Poché è stata scelta la meda artmetca come valore pù attendble e poché essa soddsfa alla (6) (mentre la meda delle devazon è nulla) convene caratterzzare l mprecsone de rsultat con la meda de quadrat del scart. Un parametro utle 7 Trattandos d error massm, valutat nel caso n cu sa pccolo l numero d msure, come stma del valore vero della varable X s può prendere anzché l valor medo delle msure la quanttà ( ma + mn )/, dove ma e mn sono rspettvamente l massmo e mnmo valore delle msure effettuate. Tutte le consderazon che seuono rmamono eualmente valde. L. Renna 39

41 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento per caratterzzare la precsone della sere d msure sarebbe qund l errore quadratco medo: * ( ) e. () * Il valore vero non essendo noto, s consdera lo scarto quadratco medo e s defnsce la devazone standard: ( ). () Essa costtusce una stma attendble (per dfetto) dell errore quadratco medo, tanto mlore quanto maore è l numero d msure e ha un mportante snfcato probablstco, come s mostrerà nel captolo 7. La devazone standard () dpende dal numero d msure, ossa dal campone che s ha a dsposzone. Occorre dunque dstnuere tra la devazone standard d un campone e la devazone standard della popolazone delle nfnte ( ) possbl msure della randezza X. La quanttà σ, quadrato della devazone standard, è detta varanza. Da osservare che ( ), per cu la varanza ode della seuente mportante propretà:. (3) La mlore stma della devazone standard della popolazone, ottenble sulla base del campone d msure a dsposzone, è la devazone standard camponara o emprca ( ) s. (4) Il motvo per s dvde per per ottenere la mlore stma della meda e per per ottenere la mlore stma della devazone standard è l seuente. Per calcolare la varanza non s usa l valore vero d ma solo la meda delle msure, come sua mlore stma. Percò, così com è calcolata, Σ ( ) è sempre un po pù pccola d Σ ( * ), la quanttà effettvamente cercata. Infatt, consderata come una *, la () è mnma per * funzone d, per cu la () sottostma scuramente la larhezza della dstrbuzone σ. Inoltre, n enerale, date msure, la meda non è un nformazone ndpendente, perché esste una correlazone tra valor e : qund l nseme formato dal e ha solo termn ndpendent. S ntroduce pertanto la varanza emprca o camponara s, (5) osservando che, per rande, la dfferenza tra le due quanttà dventa rrlevante. Come à osservato, la quanttà L. Renna 40

42 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento L. Renna 4 s s è detta devazone standard camponara o adattata. 6.3 Propaazone delle ncertezze 6.3. Somma Sa = + y. Eseute msure ndpendent delle randezze e y, sano σ, σ y le devazon standard delle rspettve dstrbuzon spermental, e, y loro valor med. In corrspondenza d on snolo valore msurato e y delle randezze e y, la randezza assume valor: y (6) l cu valore medo è: y y y ) (. (7) Indchamo, come al solto, con, y y y, l scart dalla meda. S ha y y y dove y (8) rappresenta lo scarto d dal valor medo. La varanza della randezza è qund: y y ) ( ) ( ) ( ) (. Poché le msure d ed y sono ndpendent, per on valore d nell ultmo termne dell equazone precedente s avrà con euale probabltà un fattore y d seno uuale o d seno opposto a ; d conseuenza la sommatora tenderà ad avere un valore pccolo, al lmte nullo, per un numero molto rande d msure. Pertanto: ) ( ) ( y y. (9) Analoo rsultato s ottene per la dfferenza = y. Qund, quando le randezze e y sono msurate con ncertezze statstche s e s y e = + y, la formula s = s + s y costtusce una sovrastma dell ncertezza casuale; c è nfatt un 50% d probabltà che una sovrastma d sa accompanata da una sottostma d y e vceversa. Percò, se le msure sono ndpendent, le due ncertezze s sommano n quadratura: y y s s s s s ) ( ) (.

43 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento L. Renna 4 È mmedato verfcare che se = a, allora a. Il rsultato (9) s può pertanto faclmente eneralzzare a una funzone lneare d un arbtraro numero d randezze, y, z, : = a + by + cz +. (0) ottenendo... z y c b a. () Da osservare che a /, y b /, z c /, e così d seuto Funzone non lneare La relazone d propaazone delle ncertezze statstche può essere eneralzzata nel caso n cu la funzone = f() non sa lneare, medante un procedmento d lnearzzazone analoo a quello effettuato per l error massm, e applcable quando le ncertezze casual sono pccole rspetto a valor msurat. Sano,,,, msure drette e ndpendent della randezza X, con valor medo. In corrspondenza de valor s avranno valor = f( ) per cu f ) (. () ell potes che l scart sano pccol possamo approssmare la funzone f() nelle vcnanze d con l equazone d una retta ) ( ) ( ) ( d df f f, (3) che ntrodotta nella () fornsce ) ( ) ( ) ( f d df f. (4) Analoamente, sosttuendo la (3) nell espressone dell varanza f d df f f f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s ottene ) ( d df d df, (5) che rappresenta la varanza delle msure ndrette d Funzone d pù varabl Esamnamo ora l caso enerale della msura ndretta d una randezza = f(, y, z, ) (6) determnata dalle msure drette delle randezze, y, z,. Effettuate msure, n corrspondenza del, y, z, s avranno valor = f(, y, z, ). Assumamo come mlore stma della randezza la meda artmetca de valor ),, ( z y f :

44 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento f (, y, z,...). (7) Svluppamo n sere la funzone f() nell ntorno de valor med, y, z,, mantenendo termn lnear e trascurando termn d ordne superore. Comncamo con l consderare varazon nfntesme delle varabl, y, z, rspetto al valore medo. Partamo, come n precedenza, dal dfferenzale totale f f f d d dy dz... (8) y z Se l scart, y y y, z z z, sono suffcentemente pccol da poter essere consderat nfntesm, l scart dalla meda f (, y, z ) f (, y, z) de valor sono dat da 8 f f f y z y z..., (9) da cu s ottene f, y, z,...) ( f f f f (, y, z,...) ( ) ( y y) ( z z)..., (30) y z Sosttuendo quest ultma nella (7) s ottene (analoamente a quanto succede nella (4)): f (, y, z,...). (3) Sosttuendo la (30) nella varanza d ( ) (3) s ottene un espressone n cu furano due tp d termn, quadrat e prodott mst. Quest ultm contenono quanttà la cu probabltà d essere postve o neatve è la stessa e pertanto hanno per somma un numero molto prossmo a zero, o al pù molto pù pccolo della somma de quadrat, e per questa raone possono essere trascurat. Qund, n analoa al caso lneare (equazon (0) e ()) e al modo con cu s une alla (5), dalla (3) deducamo la seuente formula d propaazone delle ncertezze casual: f f f y z.... (33) y z Essa è rorosamente valda se è una funzone lneare dalle varabl ndpendent. È valda nvece approssmatvamente se le σ sono pccole rspetto a. Rcordamo che nelle formule (9), (30) e (33) le dervate parzal f /, f /, f /, s ntendono calcolate a (, y, z, ). La formula (33) è usata per valutare la propaazone del error a posteror, ossa per stmare l error statstc dovut a combnazon d msure ndpendent. Per l errore relatvo s procede come per l error massm, dvdendo la (33) per. 8 Da osservare che, applcata alla funzone lneare (0) la relazone (9) fornsce Δ =a Δ + b Δy + c Δz. L. Renna 43

45 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento L. Renna 44 Tabella Propaazone delle ncertezze per funzon d due varabl. = f(,y) Relazone tra σ e (σ, σ y ) = + y = y 3 = y y y 4 = /y y y 5 = n n 6 = ln 7 = e S osserv che la somma n quadratura s applca solo quando le due quanttà msurate sono ndpendent. Infatt, se = l rsultato corretto è e non. 6.4 Devazone standard della meda Come applcazone della formula d propaazone dell errore (33) rcavamo la devazone standard della meda camponara. Supponamo che sa la meda artmetca d varabl casual ndpendent le qual hanno tutte la stessa varanza che ndchamo con s :. (34) Dalla relazone s s s s (35)

46 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento dscende che s s ossa s s. (36) La devazone standard della meda è dunque nferore a quella delle snole msure e dmnusce con la radce quadrata delle msure. Cò è conseuenza del fatto che essa rappresenta la stma pù attendble del valore vero delle msure. La devazone standard della meda è chamata errore standard e ndca l accuratezza con cu la meda d msure è vcna al valore vero. Il rsultato d un enerco espermento nel corso del quale sano state eseute msure d una randezza può essere formulato nel modo seuente: s V ( ) s. (37) S osserv che: All aumentare d la precsone aumenta come. Il mloramento, all nzo rapdo dventa va va pù lento (per mlorare d un fattore 0 l numero d msure va aumentato d un fattore 00). L errore statstco d norma non può essere nferore all errore d sensbltà dell apparato usato per compere le msure. Infatt, non c è modo d dstnuere obettvamente due rsultat che dfferscano per meno dell ncertezza d sensbltà dello strumento. Il contrbuto d error sstematc può essere molto pccolo ma non elmnato del tutto. Aumentare l numero d msure oltre un certo lmte è percò del tutto nutle poché l uadano d precsone dventa puramente llusoro! 6.5 Osservazon sulla propaazone delle ncertezze nelle msure ndrette Da osservare che l espressone (33) è la devazone standard d un enerco valore = f(, y, z, ). Per ottenere la devazone standard d, bsona ntrodurre nella (4) le devazon standard delle mede delle randezze, y, z, : f f f y z..., (38) y z dove le dervate parzal f /, f / y, f / z, sono calcolate a (, y, z, ). La stessa relazone può essere usata nel caso n cu le msure delle randezze, y, z, sano ndpendent anche n presenza d error massm Δ, Δy, Δz, : basta sostture le devazon standard con le ncertezze massme. S parla n questo caso d propaazone dell errore massmo n quadratura. L errore che s ottene è una valutazone meno pessmstca dell ncertezza rspetto a quella ottenuta con la formula usuale della propaazone delle ncertezze massme. L. Renna 45

47 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 6.5. Esemp Msura della veloctà S suppona d volere eseure la msura ndretta della veloctà nel moto unforme, v = /t. Gl spaz percors sano msurat con devazone standard s, e rspettv temp mpeat t con devazone standard s t. Le dervate parzal sono v v, t t t percò la devazone standard del valor medo v delle msure della veloctà è sv s s t. t t dove s e st sono le ncertezze de rspettv valor med. Elevando al quadrato e dvdendo per v = (/t) s ottene sv s st, v t coè l scart rdott (le quanttà dmensonal del tpo s r /r) s sommano al quadrato. Cò comporta una consderazone d carattere pratco ruardo alla proettazone d una msura: è nutle tentare d dmnure l errore su una delle due msure quando l ncertezza relatva sulla veloctà è domnata dall ncertezza dell altra msura Volume d un clndro Come secondo esempo, supponamo d msurare l volume d un clndro avendo a dsposzone un calbro centesmale (ad esempo un Palmer con ncertezza d sensbltà Δl = 0.0 mm). Msurando = 30 volte l dametro d e l altezza h s abba h 0.54 cm sh 0.04 cm, d.4 cm sd 0.06 cm. Il volume calcolato è d 3 V π h 0.55 cm, e le varanze relatve sono sd sh 5%, 7%. d h Dalla formula d propaazone s rcava sv sh sd.4%. V h d 3 s 0.03cm. V La msura del volume è pertanto V = (0.55 ± 0.03) cm 3. L. Renna 46

48 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 7 Dstrbuzon 7. Dstrbuzon d frequenze L anals statstca del error casual rchede l esecuzone d msure rpetute della stessa randezza. Sano,,...,,...,, () dat relatv a msure della randezza fsca contnua X. È convenente oranzzare rsultat n tabelle e rappresentarl rafcamente medante storamm. Per costrure un storamma s dvdono dat n class d valor, coè s raruppano n nsem cu valor cadono n assenat ntervall d ampezza non nferore a Δ (o uuale a un multplo d Δ), dove Δ è l ncertezza d sensbltà dello strumento d msura. Gl ntervall sono dsunt e rcoprono l ntero nseme d msure. S attrbuscono ad on classe dat l cu valore è compreso nell ntervallo k d ampezza Δ k centrato attorno al valore k. Qund on classe è caratterzzata da k ed eventualmente Δ k. Soltamente l ntervall sono pres tutt con ampezza uuale a un dato valore Δ. L ampezza Δ d cascun ntervallo è scelta n modo tale che l numero d msure che v cadono non sa né troppo pccolo né troppo rande, ma sa coè adeuato ad ottenere una rappresentazone della dstrbuzone de dat come quella rportata n fura. 9 F. Daramma della dstrbuzone d msure. Indchamo con n k l numero d dat appartenent alla classe k. S ha 9 La scelta dell ampezza pù convenente per l ntervall è connessa con l esenza d ottenere un storamma faclmente nterpretable, e coè con ntervall abbastanza popolat e n numero suffcente a fornre una rappresentazone ndcatva del tpo d dstrbuzone. Se Δ è troppo pccolo, produrrà ntervall scarsamente popolat, o vuot, e se è troppo rande, sarà troppo basso l numero d ntervall e scarsa la loro varabltà. Ad esempo, se s hanno a dsposzone 00 msure, s può prendere Δ = σ/ e poché entro 3σ attorno alla meda cade crca l 99% de dat, l ntervall central saranno popolat con pù d 0 msure. L. Renna 47

49 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento K k n k essendo K l numero d class. La dstrbuzone de rsultat è rappresentata dalla frequenza relatva della classe k nk Fk, (3) che rappresenta la frazone delle msure che cadono nell ntervallo k. L nseme delle frequenze relatve è normalzzato K k F. (4) k Il valor medo s può esprmere attraverso le frequenze relatve K k Fk (5) k dove k è l valore centrale dell ntervallo k ed F k la frequenza relatva corrspondente, e rappresenta una meda delle msure pesata attraverso le frequenze. 7.. Istoramm Per costrure un storamma, s rappresentano rafcamente le class d dat con rettanol le cu altezze sono proporzonal alle frequenze. Le altezze de snol rettanol f k sono tal che nk ( k k ) f k k f k (6) e rappresentano la denstà d frequenza de dat. L area totale de rettanol vale allora : nk f f... K f K k f k Fk k k k (7) e l storamma s dce normalzzato. () 4,5 f k 4 3,5 3,5,5 0,5 0,4,5,6,7,8,9 F. Un esempo d storamma. k L. Renna 48

50 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Un esempo d storamma normalzzato è mostrato n fura. Gl storamm normalzzat possono essere faclmente confrontat. 7. La dstrbuzone lmte S consder un dato storamma rappresentatvo d una sere d msure ndpendent della randezza X. Aumentando proressvamente l numero d msure, aumenta anche l numero d quelle che cadono n cascun ntervallo. S può allora n corrspondenza rendere sempre pù pccola l ampezza delle class d frequenza. L altezza de rettanol rmane un numero fnto poché dventa pccolo ma cresce e l storamma s dscosta qund sempre meno da una forma lmte. Se la randezza msurata è contnua, per e Δ 0 valor delle snole ordnate tendono ad un valore lmte fnto e l nvluppo de rettanol dell storamma tende a dvenre una curva contnua y = f(). f() F. 3 Da snstra verso destra aumenta l numero del ntervall e delle msure. La curva f() è tale che f()d rappresenta (o è proporzonale a) la frequenza relatva delle msure avent valore compreso nell ntervallo nfntesmo (; + d). Se l storamma d orne era normalzzato, ne seue che anche l area racchusa fra la curva e l asse delle ascsse è normalzzata, ossa: f ( ) d. (8) La quanttà f() è detta denstà contnua d frequenza o funzone d dstrbuzone. La funzone d dstrbuzone fornsce la descrzone teorca del comportamento atteso d una data sere d msure. La scelta de lmt nfnt nella (8) non costtusce alcuna lmtazone: se non c sono valor che cadono nell ntervallo (, 0 ) la frequenza corrspondente vale zero. Per un espermento nfnto () f() costtusce la dstrbuzone lmte delle frequenze. Il valore medo d è f ( ) d. (9) Poché non possamo osservare la dstrbuzone lmte, samo portat a defnre quale valore approssmato della randezza n questone l valor medo (5) delle msure effettuate. All aumentare del numero d msure l approssmazone mlora e lm. (0) La meda emprca rappresenta dunque la mlore approssmazone del valore vero della randezza X. L. Renna 49

51 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento In analoa alle consderazon ruardant l valore medo, l valore approssmato della varanza della msura K ( ) k ( ) F, () k che fornsce l ncertezza da assocare al snolo valore msurato 30, tende per alla varanza della dstrbuzone lmte ( ) f ( ) k d. () 7.3 Dstrbuzon contnue 7.3. Dstrbuzone normale È possble prevedere teorcamente la forma della dstrbuzone nel caso lmte n cu l numero delle msure sa molto rande (), nell potes che le msure sano ndpendent, ossa nel caso n cu l rsultato d una msura non sa condzonato da quello delle msure precedent e sa soetto a molte pccole sorent d error casual (e trascurabl error sstematc). In questo caso valor msurat saranno dstrbut su una curva smmetrca centrata attorno al valore vero X. La funzone che descrve una tale dstrbuzone è chamata dstrbuzone normale o funzone d Gauss: ( X ), ( ) e f X. (3) f X, ( ) σ > σ F.4 Dpendenza della funzone d Gauss da σ. Il suo snfcato è l seuente: la frazone d msure dn/ l cu valore è compreso nell ntervallo nfntesmo tra e + d è ( X ) X dn f X, ( ) d e d. (4) Essa ha un massmo per = X, è smmetrca rspetto a X e tende a zero per. In pratca la dstrbuzone de valor rlevat spermentalmente, n una sere anche abbastanza numerosa d msure, seue solo approssmatvamente una lee d tpo f X,σ (); quanto pù rande è l numero d msure, tanto mlore è l approssmazone, 30 La varanza camponara ha nel denomnatore al posto d (s veda l Captolo 6). La dfferenza è trascurable se è rande. S veda noltre alla fne del presente captolo come s analzzano cas n cu l numero d msure è pccolo. L. Renna 50

52 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento ossa tanto mnor sono le fluttuazon de valor spermentalmente trovat d dn/ rspetto alla prevsone teorca f X,σ ()d. La conoscenza della dstrbuzone lmte consente d determnare l valore medo atteso da una sere molto rande d msure. Per la dstrbuzone d Gauss, dalla (9) s ha ( X ) e d. (5) Eseuendo l cambo d varable y = ( X)/, s ha = y + X, d = dy e l nterale dventa la somma d due termn 3 y y ye dy X e dy 0 X Percò X, (6) ossa, dopo nfnte prove, l valore medo è l valore vero X su cu è centrata la funzone d Gauss. Un altra randezza da calcolare è la devazone standard σ dopo un rande numero d prove. Dalla () s ottene ( X ) ( ) e d. (7) Sosttuendo con X, ponendo ( X )/σ = z, e nterando per part, s ha 3 ( ze z z e z dz z e dz) zde z (0 ) ossa, dopo nfnte prove,. (8) Qund l parametro σ della funzone d Gauss è propro la devazone standard che s dovrebbe ottenere dopo aver eseuto molte msure Dstrbuzone unforme La devazone standard e l errore standard vanno nterpretat ed utlzzat n un modo dverso quando s consderano l error massm o d sensbltà. Per l error massm, nfatt, non s fa alcuna dstnzone tra dfferent valor della randezza che cadono entro l ntervallo d ncertezza. S può percò potzzare che ess s dstrbuscano unformemente n tale ntervallo. Supponamo d avere un nseme d msure dstrbute unformemente tutte nell ntervallo ( 0 Δ, 0 + Δ).. 3 Utlzzare l nterale notevole e d. L. Renna 5

53 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento h f() F.5 Dstrbuzone unforme. La dstrbuzone lmte corrspondente è f() = h = costante per valor d entro l ntervallo e f() = 0 al d fuor. Dalla condzone d normalzzazone (8) s ottene Percò f ( ) d h h. 0 0 d h per [ 0, 0 ] f ( ). (9) 0 per [ 0, 0 ] Ovvamente, 0, come s calcola anche dalla (9) f ( ) d 0 0 d Dalla () s ottene la varanza (s pona y = 0 ): 0 0 ( 0 ) d. (0) 0 y d [( ) ( ) ( ) ] 3. () La devazone standard sarà pertanto () 3 Il numero d msure che cadono nell ntervallo ( 0 σ, 0 + σ) è dato da 0 Δ Δ 0 f ( ) d (3) 3 0 Qund l valore msurato dsterà da quello vero per meno d σ n crca l 58% de cas. L. Renna 5

54 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 7.4 Lee de rand numer e snfcato probablstco della dstrbuzone normale S è detto che la quanttà f()d rappresenta un ndcatore della frazone d msure che cadono tra e + d n un dato espermento quando la varable X seue la dstrbuzone f(). Pù n enerale, l ndcazone del numero d msure che cadono tra due valor a e b può essere valutato dall nterale defnto d f(): b a f ( ) d frazone d msure che cadono tra = a e = b. L nterale rappresenta dunque la frazone d msure che c s aspetta d trovare nell ntervallo dato, dopo aver effettuato un numero molto elevato d msure. In altre parole, possamo anche dre che f()d è la probabltà che una snola msura b d da un rsultato compreso fra e + d e che f ( ) d è la probabltà che una a msura cada tra = a e = b. Al concetto fsco d frequenza corrsponde qund l concetto matematco d probabltà. Questo fatto è conseuenza del seuente postulato d natura spermentale, chamato lee emprca del caso, o lee de rand numer: Al crescere del numero delle prove 3, la frequenza d un evento tende a dventare uuale alla sua probabltà. In base al postulato, se l numero delle prove va crescendo ndefntamente, la frequenza dell evento s avvcna alla sua probabltà e ne dffersce d una quanttà che può essere resa pccola a pacere. Quando le msure d una randezza fsca seuono una dstrbuzone normale (e cò avvene se l error sono accdental), l nterale d Gauss permette d valutare la probabltà che un partcolare valore della msura cada n un ntervallo (a, b) p b ( X ) ( a b) e d, (4) a quanttà che è uuale all area sotto la curva che rappresenta la funzone d dstrbuzone. f (z ) Area=F(z) 0 F. 6 Snfcato eometrco della funzone cumulatva della dstrbuzone normale. z 3 Le prove vanno rpetute n dentche condzon. L. Renna 53

55 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento È utle esprmere la funzone d Gauss e l nterale tramte la varable standardzzata admensonale z = ( X)/σ, (5) che esprme la dstanza della varable dal valore atteso n untà d σ. La funzone normale standard z - f ( z) e (6) π ha dunque devazone standard σ = e valore atteso X = 0. Con questa sosttuzone, la probabltà z b p ( a b) f ( z) dz (7) z a è espressa attraverso l calcolo d un nterale l cu aromento non dpende da parametr X e σ. S defnsce Funzone d rpartzone (o funzone d dstrbuzone cumulatva) della dstrbuzone f() l nterale (fure 6 e 7) z F ( z) f ( t) dt = probabltà che la varable abba un valore fno a z. (8) La probabltà che z cada n un dato ntervallo s può esprmere tramte dfferenze d valor d F(z): z z p( za z zb ) f ( z) dz f ( z) dz f ( z) dz F( zb ) F( za ) z b a b F (z ),00 0,80 z a 0,60 0,40 0,0 0, z F 7. Funzone d rpartzone della dstrbuzone normale. Valor tabulat d f(z) e della corrspondente funzone cumulatva F(z) sono rportat nelle tabelle e n Appendce. Da osservare che F(z) ode della propretà F( z) F( z) (9) dovuta alla smmetra della funzone d dstrbuzone normale. La probabltà che cada n un dato ntervallo può essere determnata n termn d F(z). Ad esempo, dalle tabelle s rcava: p( X X ) F() F( ) F() È possble determnare un valore z α tale che la probabltà che la varable z sa contenuta entro l ntervallo [ z α, z α ] sa uuale a un determnato valore ( α), con 0 α. Tale condzone s traduce n una relazone, L. Renna 54

56 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento p ( z z ), (30) che consente d determnare l estrem dell ntervallo entro cu cade, con probabltà ( α), l valore vero del parametro z. La probabltà che l valore vero cada entro un certo ntervallo s chama lvello d confdenza e l corrspondente ntervallo ntervallo d fduca (o d confdenza). L ntervallo [ z α, z α ] rappresenta dunque l ntervallo d confdenza per l parametro z, la probabltà ( α) è l coeffcente d confdenza, α è chamato lvello d snfcatvtà. Il lmte superore dell ntervallo d fduca n untà standardzzate z α è detto valore crtco. f (z ) -α α/ α/ 0 -z α z α F.8 Intervallo d confdenza Esempo. S suppona che le msure dell altezza d un clndretto sottle sano dstrbute normalmente, con valore centrale X = 0.0 mm e devazone standard σ = 0. mm. S vuole determnare la probabltà che sa compreso tra 9.7 mm e 0.3 mm. Posto z = ( X)/σ la condzone equvale a determnare la probabltà p( z a), con a =.5. Dalla tabella dell Appendce s ha: F(.5) = , e qund p = F(.5) = 0.87 (87%). Vceversa, al lvello d snfcatvtà del 5%, sempre dalla detta tabella s rcava che l ntervallo d fduca è dato da [X.96 σ, X.96 σ], ossa 9.6 mm 0.4 mm. 7.5 Teorema del lmte centrale Affermare che è la mlore valutazone del valore vero snfca che la sua ndetermnazone è mnore d quella attrbuble a on snola msura. Ma qual è l errore statstco (errore standard) da cu è affetto? Intanto possamo osservare che sa l valor medo che la varanza dpendono da. Se la varanza è pccola, valor msurat sono tutt pù vcn al valore vero e così la loro meda. Inoltre, tanto pù rande è tanto pù è vcno al valore vero, ndpendentemente dal valore assunto da s. Per rcavare un rsultato quanttatvo comncamo con l enuncare l seuente Teorema del lmte centrale. Una combnazone lneare w = a + b + c n (3) d n varabl aleatore ndpendent,, 3,, n, cascuna avente dstrbuzone qualsas, ma con valor aspettat X, X, X 3,, X n comparabl e varanze fnte L. Renna 55

57 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento dello stesso ordne d randezza, all aumentare del numero n delle varabl aleatore tende alla dstrbuzone normale con valore aspettato X ax bx cx 3... (3) e varanza a b c... (33) X X X3 Il teorema permette d trattare l caso partcolarmente nteressante d applcazone: la determnazone dello scarto quadratco medo della meda d una randezza fsca, à ottenuto per altra va nel captolo precedente. Supponamo che X sa la meda artmetca d varabl msure ndpendent le qual hanno tutte la stessa varanza σ. In base al teorema, all aumentare del numero d msure la varable valore medo ha una dstrbuzone normale con varanza. (34) 7.6 Meda pesata Abbamo fnora supposto che le msure d una data randezza fsca sano state eseute tutte con la stessa precsone. S consder l caso d una randezza X, msurata volte, cu valor,,,, abbano dfferent devazon standard,, 3,. on s può usare la meda artmetca delle msure, perché s darebbe lo stesso peso a msure con precsone dversa. S ammette qund che la mlore stma del valore vero sa una meda pesata p, (35) cu pes p andranno determnat n funzone delle ncertezze. 33 Per rcavare tale funzone, consderamo l caso n cu cascun valore msurato sa la meda = y d K msure tutte con la stessa ncertezza δ. Poché assumamo che le sano dverse, dfferent saranno n enerale anche le corrspondent devazon standard. D altra parte sappamo anche che. K La meda artmetca effettuata su tutte le K K k y k K K K K y j K y K j dove s è usato l fatto che, per on sere d K msure, s ha: Utlzzando K / s ottene: msure total è:, K j y j K y. 33 In alternatva al metodo mostrato, s può usare l prncpo d massma verosmlanza del par.7.8. L. Renna 56

58 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento K K y ( / ) / che concde con la combnazone lneare (35) con pes p / / / (/ ), (36). (37) Applcando la formula d propaazone del error è facle dmostrare che la devazone standard della meda pesata è data da:. (38) / 7.7 Stma d confdenza per la meda Volendo defnre un ntervallo d confdenza per l valore aspettato X d un campone (,,, ) provenente da una popolazone con dstrbuzone normale e varanza σ nota, s usa come varable casuale la meda artmetca che sappamo avere anch essa dstrbuzone normale con valore aspettato X e varanza σ /. Defnta la varable normale X z, (39) / che ha valore aspettato nullo e varanza untara e stablto un lvello d snfcatvtà α, s determnano due valor z = -z α/ e z = z α/ tal che p ( z ) / z z /. Dalla relazone X z / z / (40) / s ottene l ntervallo d confdenza e una stma del valore atteso X z /. (4) Per esempo, per un lvello d confdenza α = 0.95 (α = 0.05), s ha F ( z ) / / = e, dalla tabella n Appendce, z α/ =.96. Percò, a un lvello d confdenza del 95%, X.96. Analoamente c s comporta nel caso n cu l campone (,,, ) provene da una popolazone della cu dstrbuzone non s conosce né l valore aspettato né la varanza σ, purché sa abbastanza rande (> 30). In questo caso la varanza è stmata dalla quanttà s ( ), (4) e la varable L. Renna 57

59 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento X (43) s / è ancora approssmatvamente normale con valore aspettato nullo e varanza uno. Rbadamo che l lvello d confdenza rappresenta una msura della bontà della stma del valore d una varable. Esso stablsce un ntervallo attorno al valore osservato tale che se l valore vero cade n questo ntervallo, l dato osservato non dovrebbe essere consderato partcolarmente nsolto. Un ntervallo d confdenza molto ampo suersce che non samo molto scur del punto n cu s trova l «vero» valore. Vceversa, un ntervallo rstretto ndca che samo abbastanza scur che l valore trovato sa puttosto vcno al valore vero della popolazone; n questo caso la stma sarà, qund, pù precsa. Il lvello d confdenza è qund una msura della scurezza della stma: ad esempo, con un lvello d confdenza 95% ntendamo affermare che dalle osservazon c attendamo che al 95% che l valore vero cade nell'ntervallo d semampezza.96 / attorno al valore medo. Ossa, se rpetessmo la stessa ndane per 00 volte con l stess metod (ma su 00 campon dvers), probablmente otterremmo on volta una stma dversa; tuttava, l vero valore della popolazone sarebbe all nterno dell ntervallo d confdenza 95 volte su 00. In altre parole, l ntervallo d confdenza è stato ottenuto con un metodo che fornsce un rsultato corretto nel 95% de cas Compatbltà con un valore assenato Supponamo che la msura d una randezza X abba dato l valore =. Volamo confrontare l rsultato della msura con l valore atteso X, l cu valore supponamo d conoscere. Supponamo noltre che la dstrbuzone sa centrata sul rsultato atteso X e che la larhezza della dstrbuzone sa uuale alla stma rcavata dalle msure. Il rsultato è accettable se la dscrepanza tra valore msurato e valore noto è al d sotto d un valore d snfcatvtà stablto (ad esempo una o due devazon standard o soltamente al 5% d snfcatvtà). Infatt, se la probabltà d ottenere un rsultato (che dffersce dal valore atteso) è rande, allora la dscrepanza è raonevole e l rsultato accettable; se la probabltà rsulta rraonevolmente pccola, allora la dscrepanza deve essere udcata snfcatva e l rsultato naccettable. Ad esempo, se X = 0.00 mm, = 0.04 mm, σ = 0.3 mm, = 00, s ha z ( ) / 00 La dscrepanza tra due valor è uuale a 3. ossa la stma d X dffersce per pù d tre devazon standard. Poché F(3.) = , p( z 3.) = F(3.) = 0.998, p( z 3.) = p( z 3.) = [F(3.) ] = La probabltà che dffersca per 3. o pù devazon standard è dunque dello 0.%, coè rraonevolmente pccola, la dscrepanza è snfcatva e la msura ottenuta naccettable, essendo lvello d snfcatvtà estremamente basso. L. Renna 58

60 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 7.7. Compatbltà d due valor msurat Un altro caso d nteresse ruarda l confronto tra due campon d msure della stessa randezza fsca che hanno prodotto dfferent stme a causa d error e che s suppone seuano la dstrbuzone normale. Un prmo campone sa costtuto da msure con valore medo e devazone standard σ ; l secondo da M msure y con valore medo y e devazone standard σ y. Introdotta la varable w y, (44) poché e y sono combnazon d varabl normal, anche la varable w ha dstrbuzone normale, per cu la verfca che campon dervno da popolazon avent la stessa meda s traduce nel verfcare che w abba valore nullo. Poché y w (45) M e w è dstrbuta normalmente, la compatbltà tra le due dfferent msure corrsponde a determnare a un fssato lvello d confdenza la compatbltà d w y (46) w y M con l valore zero. 7.8 Il prncpo d massma verosmlanza La dstrbuzone lmte f() s ottene effettuando un numero nfnto d msure della randezza. Se f() fosse nota s potrebbe calcolare la meda e la devazone standard σ e (almeno per la dstrbuzone normale) s conoscerebbe anche l valore vero X. Tuttava n enerale non s conosce la dstrbuzone lmte, ma s ha a dsposzone solo un numero fnto d valor,,,, sulla base de qual occorre determnare la mlore stma d X e d σ. Volamo qu solo accennare al fatto che l utlzzo della meda come mlore stma del valore vero e della devazone standard camponara come mlore stma d σ trovano la loro ustfcazone nel cosddetto prncpo d massma verosmlanza, che può essere enuncato nel modo seuente: Date msure osservate,,, soette soltanto ad error casual, le mlor stme per X e σ (dove X è l valore vero e σ la varanza della popolazone, ossa la larhezza della dstrbuzone lmte) sono que valor per qual l osservat,,, sono pù probabl. Come conseuenza, ad esempo, se s suppone che le msure seuano una dstrbuzone normale, s trova 34 che la mlore stma d X è Mlore stma d X, (47) coè la meda delle msure, mentre la varanza della dstrbuzone è stmata da 34 Basta massmzzare la probabltà ( X ) / PX, (,, ) e rspetto a X e a σ. L. Renna 59

61 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento ( X ). (48) In pratca, tuttava, poché X non è noto la varanza è stmata con ( ), (49) avendo utlzzato l fatto che la mlore stma d X è. Tuttava la (49) è sempre mnore della (48). Infatt, consderate come funzone d X la (48) è mnma per X. Avendo sottostmato la (48) con la (49), s può correere la (49) moltplcandola per /( ). Percò la mlore stma della larhezza della dstrbuzone è la devazone standard corretta s ( ). (50) 7.9 La dstrbuzone t d Student Rmane da stablre, nel caso n cu l valore aspettato X e la varanza σ non sano note e la dmensone del campone non sa suffcentemente rande (n pratca l numero d valor msurat può essere pccolo, 5 o 0), quando sa lettmo sostture alla varanza della popolazone quella camponara nell ncertezza della meda. Esste a tale proposto un crtero roroso dal punto d vsta statstco che è noto come crtero d Student 35. L ntervallo d confdenza per l valore aspettato X può essere, nfatt, dedotto dalla varable casuale X t, (5) s / che ha una dstrbuzone, detta d t d Student, con rad d lbertà: ( )/ t f ( t) C (5) dove C è una costante d normalzzazone e ν =. Tale dstrbuzone è smmetrca e tende alla normale per. I valor della t corrspondent a un dato lvello d confdenza α, per dfferent rad d lbertà, della funzone d dstrbuzone t d Student sono rportat n Appendce, tabella 3. Quando le msure sono poche, stablto un lvello d snfcatvtà α, s calcola p ( t t t ) (53) e l ntervallo d confdenza dventa s t. (54) ossa la probabltà che sa ts / X ts 35 Pseudonmo d W. S. Gosset, 908. L. Renna 60

62 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento è determnata dalla funzone d Student. Il rsultato ts / ha l snfcato statstco d asserre che la dfferenza tra l valore vero X e l valore trovato ha una certa probabltà, dpendente dall ammontare d tale dfferenza, determnata dalla f(t). Per esempo, per un lvello d confdenza α = 0.95 (α =0.05), n = 5, s ha t 0.95, 4 =.78. S ha allora, con un lvello d confdenza del 95%, s X. 78. L. Renna 6

63 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Parte II 8 Strument d msura. Msura d lunhezze 8. Calbro a cursore Il calbro a cursore è uno strumento realzzato n accao nossdable, ben lavorato meccancamente, costtuto da un reolo su cu può scorrere un cursore (F. ). b B B C c D A a A cursore F. Esso consente d msurare: Le dmenson esterne a d un oetto posto tra le anasce A. Le dmenson nterne b per mezzo delle anasce B. La dstanza c tra due lvell d un oetto, ndvduata dalla parte estrema C del reolo e dall estremo d una asscella D soldale al cursore. Le msure sono lette su una scala mllmetrata ncsa sulla parte fssa del calbro n concdenza con una ncsone del cursore (Δl = mm). Tuttava l accurata lavorazone meccanca consente d ottenere una sensbltà estremamente maore medante l uso del nono (F.). Scala mllmetrata ono F. Il nono è costtuto da una sere d n ncson equdstant poste sul cursore. La dstanza d tra due suddvson del nono è tale che, detta D la dstanza tra due suddvson sulla scala fssa del reolo, le n dvson d del nono corrspondano a kn dvson D ( kn ) D nd, da cu d kd D () n L. Renna 6

64 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento el caso n cu k =, una dvsone del nono vale /n della dvsone della scala prncpale. Se n = 0 e D = mm, s ha un nono dvso n 0 part e luno 9 mm. Se n = 0 l nono è luno 9 mm ed è dvso n 0 part; n questo caso la dstanza tra due suddvson del nono è pù corta, rspetto a quelle della scala prncpale, d /0 mm = 0.05 mm (fura 3) F. 3 k = In enerale, se lo zero del nono concde con la dvsone della scala, la prma dvsone del nono s troverà D prma del tratto ( + k) della scala, l secondo D n n prma del tratto + k, e così va (fura 4, dove k = ) D/0 D/0 D F. 4 La lettura s effettua ndvduando, sulla scala del nono, la r-ma dvsone che melo concde con una qualsas della scala fssa. Il valore d una msura è dato dalla r dvsone della scala che precede mmedatamente lo zero del nono pù D. n mm 0.0mm 0.05mm F. 5 mm Se, ad esempo, è la terza dvsone del nono a concdere con una della scala prncpale, ad esempo la 8 a (F. 5), la seconda è, per defnzone, spostata verso destra d 0.05 mm dalla 7 a dvsone, la prma d 0.0 mm dalla 6 a e lo zero del nono d 0.5 mm dalla 5 a dvsone della scala scché la msura è l = ( ) mm = 5.5 mm. L. Renna 63

65 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento k = D/ D/0 D F. 6 ella fura 6 è rappresentato un nono con k =, n cu a una suddvsone del nono corrspondono due dvson della scala prncpale. In questo caso la dstanza tra due suddvson del nono è d.95 mm. 8.. Esemp d letture Le fure 7 e 8 seuent charscono con esemp come s effettua una msura col calbro. 3 mm 0.70 mm Lettura: Scala prncpale 3 mm Scala del nono 7/0 mm = 0.70 mm = 3.70 ± 0.05 mm F. 7 7 mm 0.45 mm F. 8 Lettura: Scala prncpale 7 mm Scala del nono 4/0 + /0 mm = 0.45 mm = 7.45 ± 0.05 mm Il calbro utlzzato n laboratoro ha una portata d 5.5 cm ed ha n = 0. Possbl sorent d error sstematc sono: - Eventuale presenza tra l oetto n msura e le anasce d pccol corp, che dà msure sstematcamente maor per msure esterne e mnor per quelle nterne. L. Renna 64

66 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento - Una pressone eccessva delle anasce contro l oetto, che dà, a seconda delle sue propretà meccanche, error sstematc n senso opposto. 8. Calbro Palmer Il calbro Palmer è uno strumento che ha una portata d poch cm e può essere mpeato solo per msure esterne. 36 È costtuto da un pezzo masscco d accao foato a ferro d cavallo (F. 9). A una estremtà v è un appoo fsso A mentre l altra reca una madrevte M entro cu può scorrere una vte la cu estremtà nterna B è l altro rfermento per la msura. L estremtà esterna T è foata a tamburo e reca ncse 50 dvson uualmente spazate. Sul clndro esterno della madrevte v è una scala raduata n dvson spazate d 0.5 mm, par al passo della vte. Poché la rotazone del tamburo può essere letta con una ncertezza d /50 d ro, s ha una ncertezza d sensbltà l 0.50 mm 0 mm. () 50 A B M T F. 9 Data l elevata precsone dello strumento occorre sempre eseure anztutto la lettura d zero, coè la rsposta dello strumento a sollectazone nulla (quando tra A e B non vene nterposto alcun oetto), sa l controllo della pressone della vte n condzon d msura (a cu s provvede tramte l nottolno ). La determnazone dello zero effettvo s ottene portando pù volte n contatto tra loro le anasce dello strumento ed eseuendo le letture n corrspondenza. Al controllo della pressone eserctata dalla punta provvede un meccansmo a frzone per cu, se la rotazone del tamburo vene comandata manualmente medante l bottone termnale, una volta raunta una data pressone l bottone ra a vuoto. 8.. Esemp d letture Per msurare lo spessore d un oetto, lo s pone tra le estremtà A e B e s ra la vte fno a eserctare una leera pressone sulle facce. Il valore n mm e ½ mm è dato dall ultma dvsone d M che rmane scoperta; la frazone da aunere vene data n 0.0 mm dalla dvsone della testa raduata del tamburo che vene a trovars sulla eneratrce d rfermento d M (fura 0). 36 Il calbro utlzzato n laboratoro è un Palmer centesmale con una portata d 5 mm. L. Renna 65

67 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento mllmetr 0.0 mllmetr Lettura: 8.00 mm mm = 8.47 mm 0.5 mllmetr 3.00 mm mm Lettura: 3.00 mm mm mm = 3.55 mm mm F Sferometro Lo sferometro è costtuto da una vte mcrometrca dotata d una testa patta crcolare abbastanza rande da consentre d apprezzare, medante lo spostamento del suo bordo estremo, pccole rotazon. Una vte mcrometrca VA (F. ) scorre entro una madrevte M dotata d un sosteno con tre pedn dspost a vertc d un tranolo equlatero l cu pano è perpendcolare all asse della vte e l cu centro è l ntersezone d tale pano con l asse. La testa C è costtuta da un dsco l cu bordo è dvso n 500 part uual e passa a breve dstanza dallo spolo d un asta R fssata parallelamente all asse della vte e portante una raduazone n mm. Lo strumento consente d msurare spessor medante la msurazone della quota della punta della vte mcrometrca rspetto al pano ndvduato dalle punte de tre pedn d sosteno. R V M A C F. L. Renna 66

68 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento La msurazone mplca la determnazone dello zero effettvo dello strumento, coè la lettura corrspondente alla quota zero, ossa alla poszone n cu la punta della vte mcrometrca è complanare con le punte de pedn d appoo. On ro della vte fa alzare o abbassare la punta A d mm. Poché sulla testa raduata s possono apprezzare rotazon par a /500 ro, s potranno msurare spostament d A par a /500 mm = 0.00 mm. Se nvece l passo = mm e l numero d dv = 00 s leerà /00 mm. 37 A h r C R-h B R r h(r h) r h R h F. Data l elevata sensbltà, lo strumento è dotato d un delcato meccansmo medante l quale è possble controllare la pressone della punta della vte sulla superfce sottostante. S tratta d una leera leva con l fulcro ad una estremtà, la quale vene fatta spostare utlzzando la forza con cu la punta preme. La lettura s eseue quando l estremtà lbera d tale leva s trova n corrspondenza d un fssato rfermento (lnea d fede). Il nome dello strumento è dovuto al fatto che esso vene prevalentemente mpeato per la msura del rao d curvatura d superfc sferche (F. ). 37 Lo sferometro utlzzato n laboratoro ha una portata d 5 mm e un ncertezza d sensbltà d 0.00 mm. L. Renna 67

69 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento 9 Strument d msura. Msura d massa 9. La blanca: prncpo d funzonamento La blanca serve a stablre l eualanza d due masse attraverso l confronto de loro pes, ossa consente l confronto dretto della massa nconta d un corpo con masse campone. Il confronto tra le masse può essere realzzato sospendendo l corpo n msura, d massa M all estremtà A d una sbarra rda, detta oo, lbera d ruotare ntorno a un asse orzzontale F, detto fulcro, ed all altra estremtà B le masse campone M c. Se la massa del oo è trascurable e non sono present forze d attrto apprezzabl, le forze aent sono solo le forze peso sulle masse e la reazone vncolare nel fulcro (F. ). La condzone d equlbro fornsce la massa nconta. Infatt, all equlbro da cu M AF M BF 0, () c BF M M c. () AF A F B M M c F. Sotto queste condzon l sstema è però nstable. Le caratterstche costruttve della blanca devono percò essere tal da renderla stable. 9. La blanca analtca La blanca analtca è costtuta da un oo rdo, moble attorno a un asse orzzontale F, spolo d un prsma tranolare d accao, detto coltello, soldale con l oo. Il oo, d barcentro G, porta a cascuna estremtà un coltello a cu è sospeso un patto. Soldale con l oo v è un ndce I (F. ). Sbloccato l oo, esso ruota ntorno a F ed assume, n assenza d attrto, una poszone d equlbro corrspondente all annullars della somma de moment delle forze esterne rspetto a F. 38 Il punto O d mezzo tra A e B (spol de coltell lateral) s trova sulla retta FG. Se due patt hanno euale massa, la rsultante delle forze applcate n A e B equvale a una forza applcata n O, l oo assume una poszone pressoché orzzontale e l ndce sena la poszone zero (che può essere una qualunque della scala S). Se s 38 Le caratterstche costruttve sono ndrzzate a rendere bracc uual. L. Renna 68

70 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento ponono su patt masse dseual la rsultante delle forze non è pù applcata n O e l oo s nclna. A F O G C B I S F. L equlbro è stable e s verfca quando (F. 3) M AAA' MGGG' M BBB', (3) da cu seue M A AO M BBO tan. (4) ( M A M B)FO M G FG Il oo è realzzato con un materale e con una forma tale da consentre la massma rdtà, senza apprezzabl varazon nelle dstanze. B B F α G α M B G O O M G A α A AA' AO'cos (AO FOtan )cos AOcos FOsn M A BB' BO'cos (BO FOtan )cos BOcos FOsn GG' FGsn F. 3 L. Renna 69

71 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento Il sstema con tre coltell poa su support molto dur per consentre movment col mnmo d attrto; cò mpone che α sa pccolo, per cu tan α ~ α. Un dspostvo mantene sollevat coltell da loro appo e sorree patt tranne che nel momento della msura. La blanca ha n dotazone: Un nseme (pesera) d masse campone cu valor vanno da 0 m a 00. Una massa campone (cavalerno d Berzelus: un pezzo d flo metallco peato a forcella) d 0 m che s può porre a cavallo del oo n poszon dverse. Posto a una dstanza da F par a 7 BF 0 produce l effetto d una massa d 7 0 m 7 0 m posta n B. 9.. Lettura della poszone d equlbro La poszone d equlbro, e qund la sua determnazone n sede d msura, è nfluenzata dal attrt. Quando la forza d rchamo è pccola l attrt statc possono bloccare la blanca n poszone dversa da quella che s avrebbe se ess fossero zero. α α α 3 3 t α F. 4 Per rdurre questo effetto casuale s usa leere la poszone dell ndce quando la blanca è n moto, n corrspondenza a tre (o cnque) elonazon massme consecutve (F. 4) e assumere come valutazone della poszone d equlbro la quanttà 3. (5) 9.. Sensbltà A patt scarch l ndce sa fermo n una poszone d equlbro α 0 (non necessaramente α = 0). Posta la massa nconta M n A, la msura s effettua determnando le masse campone M c che poste n B rportano l ndce n α 0, M = M c. La rcerca d questa condzone può rchedere molt tentatv, ma non è tuttava necessara. Infatt, l aunta d un sovraccarco ΔM n A o B determna una nuova poszone dell ndce, la cu dpendenza da ΔM è valutable tramte la sensbltà L. Renna 70

72 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento d s. (6) dm M Se α è pccolo, M A ~ M B (= M) e dalla (4) AO s. (7) M FO FG M G La sensbltà dpende dunque dal carco M (a meno che FO = 0, ossa tre coltell sono complanar). ota s, l sovraccarco m da aunere n A o B per rportare l ndce da α a α 0 è 0 m. (8) s In pratca s defnsce la sensbltà come l numero d dvson corrspondent ad un dato sovraccarco (ad esempo m). Per msurare s (o l suo recproco e = /s = ΔM/Δα) s procede qund nel modo seuente. La blanca sa n equlbro con l ndce sulla poszone α 0. S sovraccarca la blanca per mezzo del cavalerno ponendolo su un tratto corrspondente a ΔM. L ndce ndcherà una nuova poszone α. Posto Δα = α α 0 la sensbltà s rcava dalla relazone s. (9) M Trascurando eventual ncertezze sulle masse campone M c l ncertezza su M n una snola determnazone d equlbro è un errore massmo dato da dv M, (0) s dove Δ dv è l ncertezza d lettura. Ad esempo, se ΔM =.0 m e Δα = 5.0 dv s ha m m e 0.4. s 5 dv dv Se s aumenta ΔM aumenta anche Δα e se l spostament sono pccol rapport rmanono costant. Una volta che s è determnata la sensbltà, per rportare, ad esempo, l ndce n una poszone α 0 dstante Δα = 3.5 dv, la massa da aunere (o tolere) è m m dv.4 m dv Assumendo Δ dv = 0.5 dv, l ncertezza su m n una snola lettura può essere assunta uuale a Δ dv /s = 0. m, per cu m (.4 0.) m Msura dretta Una msura dretta consste nel confronto tra una massa nconta e le masse campone. S determna la poszone α 0 d equlbro a patt scarch. S determna la sensbltà s o l ncertezza d sensbltà e s (eventualmente n funzone d M). S pone l corpo d massa nconta M (ad esempo) n A e le masse campone M c n B. S determna una nuova condzone d equlbro α (F. 5). Utlzzando la sensbltà s determna la massa m da aunere o tolere a M c per rportare la blanca nella poszone nzale d equlbro. L. Renna 7

73 Laboratoro I - Corso d Laurea n Fsca Facoltà d Scenze M.F.. Unverstà del Salento A α 0 α B F. 5 Esempo: M c =.50 s = 0.5 dv/m e s = m/dv α - α 0 = 5.0 dv m = m/dv 5 dv = 0 m ΔM = 0.5 dv / s = m M = M c + 0 m =.60 ± F Dfferenze nelle poszon d equlbro La blanca sa n una poszone d equlbro α 0 (F. 6). S auna un sovraccarco μ su un patto della blanca. Sa α la nuova poszone d equlbro. La sensbltà sa dove s s, () s 0. () F. 7 ella valutazone della massa m da aunere o sottrarre a uno de due patt per far concdere due poszon d equlbro s utlzza la relazone m, (3) s dove L. Renna 7