Due esempi rilevanti di probabilità su spazi finiti. (i) Permutazioni aleatorie

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1 1 Due esempi rilevati di probabilità su spazi fiiti (i) Permutazioi aleatorie Deotiamo co S l isieme delle fuzioi biiettive dall isieme {1,,..., } i sè. S è u gruppo o commutativo (per 3) se dotato dell operazioe di composizioe. I tutti gli esempi che vedremo, assumeremo che la probabiltà P su S sia quella uiforme. Naturalmete ache P dipede da, ma o c è ragioe di appesatire le otazioi chiamadola, ad esempio, P. Lo spazio di probabilità (S, P ) è u buo modello per l esperimeto aleatorio che cosiste el mescolare accuratamete oggetti, e quidi osservare l ordiameto otteuto. I questo paragrafo esamiiamo alcue proprietà iteressati dello spazio (S, P ), prededo sputo da alcui problemi Puti fissi. Cosideriamo il seguete problema. Problema 0.1. Ua comitiva di turisti si sta imbarcado per u viaggio aereo. La loro guida ha tutte le carte d imbarco (omiative), che deve distribuire ai turisti prima dell imbarco. Per la fretta e la cofusioe le distribuisce a caso. Qual è la probabilità che qualcuo dei turisti riceva effettivamete la propria carta d imbarco? Qual è la probabiltà che esattamete m turisti ricevao la propria carta d imbarco? Soluzioe 0.. Al solito, etichettiamo co {1,,..., } gli turisti e sia σ(i) il umero (ome) sulla carta d imbarco ricevuta dal turista i. Chiaramete σ S. L i-esimo turista riceve la propria carta d imbarco se σ(i) = i, cioè se i è u puto fisso della permutazioe σ. Duque, i quesiti del problema si possoo riformulare come segue: qual è la probabilità che ua permutazioe abbia almeo u puto fisso? E qual è la probabilità che abbia esattamete m puti fissi? Per m = 0, 1,..., e i = 1,,...,, itroduciamo gli eveti A m := {σ S : σ ha esattamete m puti fissi}, C i := {σ S : σ(i) = i}. Chiaramete A c 0 = C 1 C C. Per la formula di iclusioe-esclusioe ( ) P (A c 0) = ( 1) k+1 P C i. (0.1) k=1 J {1,,...,} i J tale che J =k Fissiamo duque k {1,,..., }, e sia J {1,,..., } tale che J = k. Si ha C i = {σ S : σ(i) = i per ogi i J}. i J

2 Le permutazioi che lasciao fissi gli elemeti di J soo i aturale corrispodeza biuivoca co le permutazioi di {1,,..., } \ J, e quidi ( ) ( k)! C i = ( k)! P C i =.! i J Poichè i sottoisiemi J di {1,,..., } co k elemeti soo ( k), si ha ( ) ( ) ( k)! P C i = = 1 k! k!. J {1,,...,} tale che J =k i J i J Iseredo quest ultima uguagliaza i (0.1) otteiamo P (A c ( 1) k+1 0) = k! k=1 ( 1) k = 1. k! k=0 È ioltre be oto che Quidi l approssimazioe ( 1) k e 1 k! k=0 1 ( + 1)!. P (A c 0) 1 e è eccellete per valori o troppo piccoli di (già per = 6 i due umeri hao le prime tre cifre decimali uguali). Duque, la probabilità che almeo u passeggero riceva la sua carta di imbarco è quasi idipedete dal umero di passeggeri! Resta da determiare P (A m ) per m 1. Nel seguito usiamo la otazioe q := ( 1) k, k! k=0 che, come appea visto, è la probabilità che dell isieme delle permutazioi di u isieme di elemeti che o hao alcu puto fisso, cioè P (A 0 ) = q. Per J {1,,..., }, J = m, sia B J := {σ S : σ(j) = j per ogi j J, σ(i) i per ogi i J}. Ogi elemeto di B J può essere idetificato co ua permutazioe degli elemeti di J c che o ha alcu puto fisso. Per quato appea visto, ci soo q m ( m)! tali permutazioi. Pertato ( m)! B J = q m ( m)! P (B J ) = q m.! Ifie essedo A m = B J, J: J =m

3 3 ed essedo la precedete l uioe di isiemi disgiuti, P (A m ) = Se m o è troppo vicio a ( ) ( m)! q m m! P (A m ) e 1 m! Cicli. Cosideriamo il seguete problema. = q m. m! Problema 0.3. U gruppo di amici affitta ua casa per ua vacaza. Dopo alcui giori tutti covegoo che sia il caso di fare delle pulizie, ma si steta a trovare dei volotari. Laura, che è voloterosa e bizzarra, avaza la seguete proposta. Oguo scrive il proprio ome su ua carta. Quidi le carte vegoo accuratamete mescolate e distribuite. Laura allora leggerà ad alta voce il ome sulla sua carta. Quidi la persoa il cui ome è stato letto leggerà a sua volta il ome sulla sua carta; si prosegue così fichè o viee letto il ome di Laura. A questo puto, le persoe il cui ome è stato chiamato formerao la squadra per le pulizie. (i) Qual è la probabilità che Laura si trovi a dover fare le pulizie da sola? (ii) Qual è la probabilità che tutti debbao fare le pulizie? (iii) Più i geerale, qual è la probabilità che la squadra delle pulizie sia composta da m persoe? Soluzioe 0.4. È coveiete riformulare il problema co u liguaggio più formale. Etichettiamo gli amici co i umeri 1,,...,, assumedo che il umero 1 corrispoda a Laura. L esito del mescolameto delle carte può essere descritto da u elemeto σ S : la carta i mao alla persoa i ha il ome della persoa σ(i). La squadra per le pulizie si ottiee applicado ripetutamete σ a 1: σ(1), σ σ(1) =: σ (1),..., σ k 1 (1), 1, dove k 1 è il più piccolo umero itero tale che σ k (1) = 1. La sequeza (1, σ(1), σ (1),..., σ k 1 (1)) viee detta ciclo di lughezza k. La costruzioe fatta a partire dall elemeto 1 può essere ripetuta a partire da u elemeto arbitrario. È chiaro che ogi elemeto i {1,,..., } appartiee ad uo ed u solo ciclo: i altre parole ua permutazioe idividua ua partizioe i cicli di {1,,..., }. Il quesito (iii) del problema i esame, che cotiee gli altri due come casi particolari, può essere pertato riformulato come segue: qual è la probabilità che il ciclo coteete 1 abbia lughezza m? Defiiamo C m := {σ S : il ciclo coteete 1 ha lughezza m}. Si oti che C 1 = {σ S : σ(1) = 1}, e che c è ua aturale corrispodeza biuivoca tra C 1 e l isieme delle permutazioi di {, 3,..., }, da cui si deduce che C 1 = ( 1)! P (C 1) = 1. I altre parole, la probabilità che Laura si trovi da sola a fare le pulizie è pari a 1. Questo rispode alla domada (i). Cosideriamo ora la domada (ii), cioè calcoliamo P (C ). Per cotare gli elemeti di C osserviamo che se σ C essa ha u uico ciclo, che si può rappresetare ella forma (1, σ(1), σ (1),..., σ 1 (1)).

4 4 Ma la scrittura precedete si può iterpretare come ua permutazioe di {1,,..., } co 1 al primo posto. Abbiamo appea otato che ci soo ( 1)! tali permutazioi, per cui C = ( 1)!. Segue i particolare che P (C ) = 1, che rispode alla domada (ii). I modo più rigoroso, mostriamo che l applicazioe ϕ defiita da (ϕ(σ))(k) := σ k 1 (1), dove si itede che σ 0 sia la fuzioe idetica, è ua biiezioe tra C e C 1. È evidete che ϕ(σ) C 1 per ogi σ C e che l applicazioe ϕ è iiettiva. Per mostrare che ϕ è suriettiva, e duque biiettiva, basta mostrare che ammette iversa destra, cioè che esiste u applicazioe ψ : C 1 C tale che ϕ ψ = idetità su C 1. Mostriamo che tale ψ è data da (ψ(τ))(k) := τ(τ 1 (k) + 1), dove + 1 := 1, cioè si ha ϕ(ψ(τ)) = τ per ogi τ C 1. Per verificare quest ultimo fatto, per defiizioe ϕ(ψ(τ))(1) = (ψ(τ)) 0 (1) = 1 = τ(1), dato che τ C 1. Ioltre, assumedo che per m k si abbia ϕ(ψ(τ))(m) = τ(m), si ha ϕ(ψ(τ))(k + 1) = (ψ(τ)) k (1) = (ψ(τ))(ψ(τ)) k 1 (1)] = (ψ(τ))ϕ(ψ(τ))(k)] = (ψ(τ))(τ(k)) = τ(τ 1 (τ(k)) + 1) = τ(k + 1). Abbiamo duque mostrato per iduzioe che ϕ(ψ(τ))(k) = τ(k) per ogi k {1,,..., }. A questo puto abbiamo gli strumeti per calcolare C m per ogi valore di m, cioè per rispodere alla domada (iii). Ifatti, gli elemeti σ C m possoo essere determiati dalle segueti tre scelte successive: si scelgoo gli m elemeti del ciclo coteete 1, per cui ci soo ( 1 m 1) esiti possibili (uo degli m elemeti dev essere 1); si sceglie uo dei cicli formati da questi m elemeti: come abbiamo appea visto ella risposta alla domada (ii), ci soo (m 1)! tali cicli; si scelgoo i valori di σ sui rimaeti m elemeti: dato che σ permuta i modo arbitrario tali elemeti, per questa scelta ci soo ( m)! esiti possibili. Per il pricipio fodametale del calcolo combiatorio, si ottiee ( ) 1 C m = (m 1)!( m)! = ( 1)! P (C m ) = 1 m 1. Cocludedo, la probabilità che la squadra per le pulizie sia composta da m elemeti è 1, i particolare o dipede da m. Avedo acquistato u po di familiarità co le permutazioi, cosideriamo il problema seguete. Problema 0.5. Lo stesso gruppo di amici decide di usare il metodo proposto da Laura per suddividersi i sottogruppi, corrispodeti alla partizioe i cicli determiata della permutazioe. Qual è la probabilità che si formi u sottogruppo, ecessariamete uico, co più di / persoe? Soluzioe 0.6. Sia m >, e sia D m := {σ S : σ ha u ciclo di lughezza m}.

5 5 I realtà D m è be defiito ache per m /. Tuttavia i questo caso u ciclo di lughezza m o è ecessariamete uico, e l argometo che vedremo ora per determiare il umero dei suoi elemeti o si può applicare. Assumiamo perciò m > /. Gli elemeti di D m possoo essere determiati attraverso le segueti scelte successive: si scelgoo gli m elemeti che compaioo el ciclo grade, per cui ci soo ( m) esiti possibili; si sceglie il ciclo sugli m elemeti fissati: per questa scelta ci soo (m 1)! esiti possibili; si permutao i modo arbitrario i rimaeti m elemeti, per cui ci soo ( m)! esiti possibili. Pertato ( ) D m = (m 1)!( m)! =! m m P (Dm) = 1 m. Si osservi che se fosse m, la possibile o uicità dei cicli di lughezza m coduce a cotare più di ua volta la stessa permutazioe, e quidi il precedete coteggio risulta o corretto: questo si evice ache dal fatto che 1 m=1 > 1 per ogi N. m Per rispodere al quesito del problema, dobbiamo calcolare P D m = P (D m) = 1 m. <m <m <m Deotiamo co p quest ultima probabilità, e sia la parte itera di. Ituitivamete, sostituedo la somma co u itegrale si ottiee p 1 dx log log(/) = log. Precisiamo ora questa / x relazioe i modo rigoroso. Usado le disuguagliaze (da verificare per esercizio!), valide per ogi x > 0 0 x log(1 + x) x, abbiamo che, se m > 0 1 ( ) m + 1 m log 1 m m 4. Perciò 0 <m 1 m <m ( ) m + 1 log m, da cui, essedo <m ( ) m + 1 log m ( ) + 1 = log + 1, si deduce che I particolare ( ) ( ) log + 1 p log lim p = log. + I altre parole, per gradi valori di, la probabilità che si formi u sottogruppo co più di / persoe è approssimativamete log 0, e duque (approssimativamete) o dipede da, u risultato o evidete a priori. Per > 50, p log Il risultato appea otteuto permette di trovare ua soluzioe al seguete difficile problema. Problema 0.7. Il docete di u corso di Probabilità frequetato da 100 studeti propoe ai suoi allievi quato segue. Si preparao 100 buste, umerate da 1 a 100, e 100 carte, su ciascua delle quali è scritto il ome di uo studete del corso (seza ripetizioi, si escludao omoimie). Quidi le carte vegoo iserite, casualmete, ua per ogi busta. Le buste, chiuse ma o sigillate, vegoo quidi disposte sulla cattedra di u aula. Gli studeti etrao ell aula uo per volta. Ogi studete apre a

6 6 suo piacimeto 50 buste, e comuica al docete se, tra le buste aperte, c è quella co il proprio ome. Quidi le richiude ed esce dall aula, e da quel mometo o può più comuicare co i colleghi che acora devoo etrare i aula. Il docete alzerà il voto dell esame di tre puti a tutti, solo el caso i cui ciascuo studete trovi la busta coteete la carta co il proprio ome. Gli studeti o possoo comuicare dopo l iizio delle aperture, ma possoo cocordare ua strategia a priori. Si determii ua strategia che coduca al successo (cioè all aumeto di tre puti per tutti) co probabilità almeo 0.3. Soluzioe 0.8. È assolutamete o ovvio che questo problema abbia soluzioe. Le strategie baali falliscoo miseramete. Suppoiamo, ad esempio, che gli studeti o si accordio per ulla, ad esempio che oguo di essi scelga a caso, idipedetemete dagli altri, le 50 buste da aprire. I questo caso è facile mostrare che oguo avrebbe probabilità 1 di trovare il proprio ome e, vista l idipedeza delle 1 scelte, la probabilità che tutti trovio il proprio ome sarebbe : irrisoria! Si può fare aturalmete di 100 peggio: se fossero così sciocchi da accordarsi di aprire tutti le stesse 50 buste, la probabilità di successo sarebbe ulla. Quello che o è ovvio è se sia possibile fare meglio. Per semplificare le otazioi, poiamo := 100 ed etichettiamo i ceto omi co i umeri 1,,...,. Deotiamo ioltre co σ(k) il umero (ome) all itero della busta umero k. Tale σ è evidetemete u elemeto di S, e la probabilità uiforme su S corrispode al fatto che i omi elle buste vegoo iseriti a caso. Lo scopo di ogi studete k è di aprire la busta umero j co σ(j) = k. Suppoiamo che gli studeti si accordio per seguire la seguete strategia. Ogi studete k apre per prima la busta k, e e legge il coteuto σ(k). Quidi apre la busta σ(k) leggedoe il coteuto σ (k), e così via. Se, ella permutazioe σ, l elemeto k appartiee ad u ciclo di lughezza m, la m-sima busta aperta è la busta σ m 1 (k), il cui coteuto è σ m (k) = k: questo sigifica che lo studete trova la carta col proprio ome! Segue pertato che se o ci soo i σ cicli di lughezza maggiore di /, ogi studete troverà sicuramete la busta coteete il proprio ome. Perciò probabilità di successo della strategia 1 p, dove p è la probabilità calcolata el problema precedete. Avedo visto che p log 0.69, abbiamo otteuto quato richiesto (per scrupolo, per = 100, si calcola p 0.688). Sottolieiamo che il limite iferiore otteuto alla probabilità di successo è approssimativamete idipedete da, se è abbastaza grade. Per capire meglio la strategia, defiiamo per m = 1,..., l eveto B m := {lo studete umero m trova la carta col proprio ome}, e poiamo B := {tutti gli studeti trovao la carta col proprio ome} = m=1 Bm. No è difficile covicersi del fatto che P (Bm) = 0.5 per ogi m = 1,...,, qualuque sia la strategia seguita! Di cosegueza P (B) 0.5. Co la strategia proposta abbiamo mostrato che P (B) = P ( m=1 Bm) 0.3. I particolare, gli eveti {Bm} 1 m soo molto sovrapposti (quidi tutt altro che idipedeti). Il cuore della soluzioe cosiste proprio el determiare ua strategia tale che, se si verifica il primo eveto A 1, co grade probabilità si verificao tutti gli altri eveti A m co m 1. Comiciamo co u esempio. (ii) Il modello di Isig Esempio 0.9. Sia Ω u isieme fiito, e sia H : Ω R ua fuzioe arbitraria. Fissato u parametro reale β 0, defiiamo p β (ω) := 1 Z(β) e βh(ω),

7 7 dove Z(β) := ω Ω e βh(ω). È facile vedere che P β (A) := ω A p β (ω) defiisce ua probabilità su (Ω, P(Ω)). Prededo a prestito la termiologia della meccaica statistica, la probabilità P β viee detta misura di Gibbs relativa alla fuzioe Hamiltoiaa (o eergia) H e alla temperatura iversa β. L iterpretazioe è la seguete: gli elemeti ω Ω rappresetao gli stati di u sistema fisico, a cui è associata ua eergia H(ω); quado il sistema è i equilibrio termico alla temperatura assoluta T, poedo β = 1 k B T (dove k B è la costate di Boltzma) si ha che la probabilità di osservare il sistema i uo stato ω è data da p β (ω) = P β ({ω}). Si oti che, el caso β = 0 (temperatura ifiita), p β ( ) o dipede da ω, pertato P 0 o è altro che la probabilità uiforme su Ω. Cosideriamo ivece il limite β + di temperatura zero (assoluto). Idichiamo co m := mi{h(ω) : ω Ω} il miimo assoluto della Hamiltoiaa, e itroduciamo l isieme (o vuoto) A := {ω Ω : H(ω) = m}, costituito dagli elemeti di Ω co eergia miima. Mostriamo ora che lim P β(a) = 1. (0.) β + I altre parole, el limite β +, P β si cocetra sugli elemeti di miima eergia. Per dimostrare (0.) è sufficiete (perché?) mostrare che, per ogi ω A, Si oti che Pertato lim P β({ω}) = β + lim p β(ω) = 0. β + Z(β) e βm. P β ({ω}) e βh(ω) e βm = e βh(ω) m]. (0.3) Essedo ω A, si ha H(ω) > m, e (0.) segue immediatamete da (0.3). Descriviamo ora u celebre modello i meccaica statistica, il modello di Isig per u materiale ferromagetico. Sia Λ u sottoisieme fiito di Z d. I puti di Λ vao iterpretati come i odi (detti ache siti) di u cristallo regolare. Ogi odo è occupato da u atomo, il moto dei cui elettroi produce u campo magetico. I questo modello semplificato, si assume che tale campo magetico, che chiameremo spi, assuma solo due valori, +1 e 1. Ua cofigurazioe per tale sistema è σ = (σ x ) x Λ,

8 8 dove σ x = ±1 è lo spi el odo x Λ. I altre parole Ω = { 1, 1} Λ è l isieme di tutte le cofigurazioi. L eergia (poteziale) associata ad ua cofigurazioe è dovuta all iterazioe tra gli spi dei odi i Λ e all iterazioe co l estero. I questa presetazioe, assumiamo che l iterazioe sia locale: l iterazioe tra gli spi i Λ avviee solo tra siti primi vicii, la cui distaza è pari a 1, metre l iterazioe co l estero riguarda solo i odi del bordo di Λ, cioè Λ = {x Λ : y Λ c tale che x y = 1}. Più precisamete, l eergia (o Hamiltoiaa) di ua cofigurazioe σ è data da H τ Λ(σ) := x,y Λ x y =1 σ x σ y x Λ τ x σ x. (0.4) Si oti che il primo termie i HΛ τ descrive l iterazioe tra gli spi primi vicii i Λ, metre il secodo termie può essere iterpretato come risultate da campi magetici di valore τ x ageti sugli spi del bordo di Λ. Assumiamo per semplicità che τ x = ±1, cioè τ { 1, 1} Λ. Si oti che se fosse τ x 0, l eergia HΛ τ avrebbe esattamete due miimi assoluti, dati rispettivamete da σ x 1 e σ x 1; più i geerale, l eergia di ua cofigurazioe σ sarebbe uguale a quella della cofigurazioe σ. La preseza di u campo magetico al bordo τ { 1, 1} Λ, rompe tale simmetria: i particolare, se τ x +1, l uico miimo di HΛ τ è la cofigurazioe co σ x +1. I ogi caso, ua cofigurazioe ha u valore tato più basso dell eergia quato più gli spi della cofigurazioe soo allieati tra di loro. Ua quatità che gioca u ruolo fisico fodametale è la temperatura. Il moto termico degli atomi si traduce i u disturbo aleatorio sugli spi: il sistema ha ua prefereza per le cofigurazioi a bassa eergia, ma tale prefereza è tato più dobole tato più è alta la temperatura. Queste cosiderazioi ituitive hao ua traduzioe precisa i meccaica statistica cosiderado la misura di Gibbs associata all Hamiltoiaa H Λ, che ora riprediamo i dettaglio. Se T è la temperatura assoluta, idichiamo co β = 1/(k B T ) la temperatura iversa, dove k B è la costate di Boltzma. È coveiete semplificare le otazioi poedo k B = 1 (il che equivale a misurare la temperatura i uità di k B ), di modo che β = 1/T. Secodo l ipotesi di Gibbs, se il sistema è i equilibrio ad ua temperatura iversa β > 0 co campo magetico al bordo τ, la probabilità di osservare ua cofigurazioe di spi σ è data da µ τ 1 Λ,β ({σ}) := ZΛ τ exp βhλ] τ, dove Z τ Λ,β := σ Ω exp βh τ Λ]. I questo modo σ Ω µτ Λ,β ({σ}) = 1. Duque, µτ Λ,β si può estedere ad ua probabilità su Ω poedo, per A Ω: µ τ Λ,β (A) := µ τ Λ({σ}). σ A

9 9 Abbiamo visto che per ogi σ Ω si ha che lim β 0 µτ Λ,β ({σ}) = 1 Ω, cioè, el limite di temperatura ifiita, tutte le cofigurazioi divetao equiprobabili. Ioltre, per ogi σ Ω che o sia u miimo assoluto di HΛ τ si ha lim β + µτ Λ({σ}) = 0, cioè, el limite di temperatura zero, il sistema tede a cogelarsi elle cofigurazioi che miimizzao l eergia. Suppoiamo ora di fissare il reticolo Λ = Λ = {, + 1,..., 0,..., 1, } d e le codizioi al bordo τ x 1. Poiamo Ω := { 1, 1} Λ e scriveremo µ +,β i luogo di µτ Λ,,β Z +,β i luogo di Zτ Λ e,β H+ i luogo di HΛ τ. Itroduciamo l eveto A := {σ Ω : σ 0 = +1}, (0.5) dove 0 = (0, 0,..., 0) idica l origie i Z d. Quidi µ +,β (A) è la probabilità che lo spi ell origie sia positivo. Come suggerito i precedeza, la preseza al bordo di u campo magetico positivo favorisce gli spi positivi rispetto a quelli egativi: di cosegueza, è ituitivamete plausibile che si abbia µ +,β (A) > 1/. Questa disuguagliaza è effettivamete vera, per ogi valore fissato di N e β > 0, ma e omettiamo per brevità la dimostrazioe. Essa esprime il fatto che lo spi ell origie risete del campo magetico al bordo, e, co probabilità > 1/, si alliea allo stesso. Facedo crescere, aumeta la distaza tra l origie e il campo magetico al bordo, la cui iflueza, si può cogetturare, diveti sempre meo rilevate. I altre parole, potrebbe accadere che lim + µ+,β (A) = 1/. (0.6) Viceversa, potrebbe accadere che l iflueza del campo magetico al bordo sull origie sia rilevate ache per grade, ossia che esista E > 0 tale che, per ogi, µ +,β (A) > 1 + E. (0.7) Se accade (0.7), si dice che (per il valore di β dato) si ha magetizzazioe spotaea. Per i ferromageti reali, la magetizzazioe spotaea è u feomeo effettivamete osservato, purché la temperatura sia o troppo elevata. Il problema che ci poiamo è di stabilire se il modello di Isig, almeo per questo aspetto, è u buo modello per u ferromagete reale. Il risultato iteressate è che la risposta dipede dalla dimesioe d dello spazio: per d si ha magetizzazioe spotaea a basse temperature, metre per d = 1 o si ha magetizzazioe spotaea per essu valore della temperatura. No dovrebbe sorpredere il fatto che l aalisi del modello diveta via via più difficile al crescere della dimesioe d. Bechè la dimesioe fisica sia d = 3, ci occuperemo per semplicità solo dei casi d = 1 e d =.

10 Il caso d = 1. Per d = 1 si ha Λ = {, +1,..., 1, } e Ω = { 1, 1} Λ. Co u coto esplicito possiamo scrivere: µ +,β (A) = ( )] µ +,β ({σ}) = 1 1 Z + exp β σ + σ k σ k+1 + σ σ A,β σ Ω : σ 0 =1 k= ( )] ( )] = 1 1 Z + exp β σ + σ k σ k+1 + σ 1 exp β σ 1 + σ k σ k+1 + σ,β σ,...,σ 1 k= k=1 σ 1,...,σ ( )( ) = 1 Z + k= σ kσ k+1 + σ 1) 1 k=1 σ kσ k+1 + σ ).,β σ,...,σ 1 e β(σ + σ 1,...,σ e β(σ1 + Si oti ora che le due somme coteute i quest ultima espressioe soo uguali, cambiado solo i omi delle variabili sommate (σ i σ i ). Duque: { ( )]} µ +,β (A) = 1 1 Z + exp β σ 1 + σ k σ k+1 + σ. (0.8),β σ 1,...,σ Per semplificare questa espressioe, itroduciamo u operatore lieare T, che agisce sullo spazio vettoriale delle fuzioi f da {+1, 1} i R el modo seguete: la fuzioe T f, sempre da {+1, 1} i R, è defiita da (T f)(s) := e βss f(s ) = e βs f(1) + e βs f( 1). s =±1 Ua fuzioe f : {+1, 1} R può essere idetificata co il vettore coloa ( f(+1) f( 1)). I questo modo, la trasformazioe f T f corrispode alla trasformazioe lieare sui vettori di dimesioe due data dalla matrice T s,s := e βss, cioè ( e β e T = β ). (0.9) Posto ϕ(s) = e βs, possiamo riscrivere la relazioe (0.8) come ] µ +,β (A) = 1 Z + T 1,σ1 T σ1,σ T σ 1,σ ϕ(σ ) = 1,β σ 1,...,σ e β e β k=1 Z +,β (T ϕ)(1) ]. (0.10) Si osservi che, se avessimo voluto calcolare µ + (A c ), avremmo dovuto sommare sulle cofigurazioi per le quali σ 0 = 1. L uica differeza, rispetto all espressioe i (0.8), è che l addedo σ 1 ell espoeziale sarebbe stato sostituito da σ 1. Usado le otazioi or ora itrodotte, possiamo cocludere che µ +,β (Ac ) = 1 (T Z + ϕ)( 1) ].,β

11 11 Quest ultima uguagliaza, assieme a (0.10) e al fatto che µ +,β (A) + µ+,β (Ac ) = 1, ci dà Mettedo tutto assieme: Z +,β = (T ϕ)(1) ] + (T ϕ)( 1) ]. µ +,β (A) = (T ϕ)(1) ] (T ϕ)(1) ] + (T ϕ)( 1) ]. (0.11) Usiamo ora u po di algebra lieare. La matrice T defiita i (0.9) ha come autovalori λ 1 = cosh(β), λ = sih(β), corrispodeti agli autovettori v 1 = ( ) 1 1 e v = ( 1 Idetificado vettori e fuzioi come sopra idicato, possiamo esprimere la fuzioe ϕ = ( ) e β e come β ϕ = cosh(β) v 1 + sih(β) v, da cui, usado la liearità di T, si ottiee (T ϕ)(±1) = cosh +1 (β) ± sih +1 (β). I coclusioe, abbiamo calcolato l espressioe esatta di µ +,β (A): µ +,β (A) = cosh +1 (β) + sih +1 (β) ] cosh +1 (β) + sih +1 (β) ] + cosh +1 (β) sih +1 (β) ]. 1). Si oti che effettivamete µ +,β (A) > 1, per ogi valore fissato di N e β > 0 (metre µ +,β (A) = 1 per ogi N, se β = 0). Dato che cosh(β) > sih(β) > 0 per ogi β > 0, lasciamo al lettore il compito di dedurre dalla formula precedete che, per ogi β > 0, si ha lim + µ+,β (A) = 1. Questo mostra che i dimesioe 1 o c è magetizzazioe spotaea per essu β > Il caso d =. I dimesioe due o teteremo di effettuare calcoli esatti co il modello di Isig. I realtà, molti calcoli esatti soo possibili: la loro complessità va però al di là del livello di questo libro. Dimostreremo l esisteza di magetizzazioe spotaea i d = (a basse temperature) mediate u argometo geometrico-combiatorio semplice ed efficace, geeralizzabile a molti modelli più complessi: si tratta del celebre argometo di Peierls. I questo caso il reticolo Λ = {, + 1,..., 1, } è formato dai puti a coordiate itere del quadrato di lato avete l origie al cetro. Poiamo Ω := { 1, 1} Λ. Per comodità di calcolo, coviee modificare leggermete la defiizioe dell eergia, poedo H + (σ) := (σ xσ y 1) x,y Λ x y =1 x Λ (σ x 1). (0.1) Si oti che, co riferimeto all eergia origiale H + defiita i (0.4), per ogi σ Ω si ha H + (σ) = H + (σ) + c, dove c = {x, y Λ : x y = 1} + Λ è ua costate che o dipede da σ. Di cosegueza possiamo scrivere µ +,β(σ) = 1 Z +,β exp βh + (σ) ] = 1 Z +,β exp β H ] + (σ),

12 1 dove Z +,β := σ Ω exp β H ] + (σ). (0.13) I altre parole, la uova eergia H + è fisicamete equivalete a quella origiale, cioè determia la stessa misura di Gibbs. La ragioe per itrodurre l eergia H + è che essa si può riscrivere come H + (σ) = {(x, y) : x y = 1 e σ x σ y} + {x Λ : σ x = 1}. (0.14) Vedremo tra poco l utilità di tale espressioe. Data ua cofigurazioe di spi σ su Λ, completiamola ad ua cofigurazioe di spi su tutto Z assegado spi +1 a tutti i puti esteri a Λ (i realtà, per la costruzioe che segue, è sufficiete assegare spi +1 ai puti di Λ c che distao 1 da qualche puto di Λ ). Per ogi coppia di puti x, y tali che x y = 1 e σ x σ y disegiamo quidi el piao u segmeto di lughezza 1, ortogoale al segmeto cogiugete x e y, il cui puto medio sia x+y. La figura otteuta dall uioe di tutti i segmeti disegati è detta cotour (si veda la Figura 0.1 per u esempio). Figura 0.1. Ua cofigurazioe di spi σ per il modello di Isig el piao, sul reticolo Λ = {,..., } co = 4, co codizioi al bordo positive. I rosso è tracciato il cotour C corrispodete. La parte di cotour tratteggiata è ua poligoale chiusa autoevitate che cotiee l origie. I due segmeti a putii, ell agolo i alto a destra, dao cotributo 1 alla lughezza l(c) del cotour (che i questo caso è pari a 83). Itroduciamo ua otazioe importate: defiiamo poligoale chiusa autoevitate (p.c.a.) l uioe k 1 i=1 PiPi+1 dei segmeti che cogiugoo i successioe k puti P1,..., P k del piao, dove P k = P 1 (poligoale chiusa), P i P j se {i, j} {1, k} (poligoale autoevitate) e ioltre P i = (x i ± 1, yi ± 1 ) co (x i, y i) Λ e P i+1 P i = 1, per ogi i = 1,..., k. U esempio di poligoale chiusa autoevitate è tratteggiato i rosso ella Figura 0.1.

13 13 Il puto fodametale è che ogi cotour C si può sempre scrivere come uioe m i=1 γi di p.a.c. disgiute, dove, co leggero abuso di otazioe, itediamo disgiute ache due poligoali che si itersecao i u umero fiito di puti. Viceversa, u uioe di p.a.c. disgiute è sempre u cotour ammissibile, cioè esiste ua cofigurazioe di spi σ Ω che lo determia, e tale cofigurazioe è uica. Ua dimostrazioe formale di queste affermazioi o è difficile ma è piuttosto luga e oiosa e sarà pertato omessa. Abbiamo otteuto ua caratterizzazioe esplicita dell isieme dei cotour ammissibili, che idicheremo co Ξ, che è i corrispodeza biuivoca co lo spazio delle cofigurazioi Ω. Sottolieiamo che la decomposizioe C = m i=1 γi co γi p.c.a. disgiute i geerale o è uica (si veda ad esempio la Figura 0.1). Da qui i poi idetificheremo ua cofigurazioe σ di spi co il cotour C corrispodete: i particolare, scriveremo µ +,β ({C}), H+ (C), ecc. Defiiamo la lughezza l(c) di u cotour C come il umero dei segmeti di lughezza 1 che lo compogoo (lughezza geometrica), eccetto el caso i cui ua o più coppie di segmeti del cotour descrivao uo dei 4 agoli del reticolo Λ : i questo caso coveiamo che ciascua coppia di tali segmeti dia cotributo 1 alla lughezza l(c) (si veda la Figura 0.1). Co queste covezioi, ricordado la relazioe (0.14) si ottiee la rappresetazioe basilare Possiamo quidi scrivere H + (C) = l(c). µ +,β({c}) = 1 Z+ e β l(c), Z+,β = e β l(c ). (0.15) C Ξ Sia ora C u cotour corrispodete a ua cofigurazioe di spi σ i cui σ 0 = 1. Dato che l isola di spi 1 a cui l origie appartiee dev essere separata dal mare di spi +1 che ricopre tutto Λ c, il cotour C dev essere della forma γ C, dove γ è ua p.c.a. avete l origie al suo itero e C è u cotour tale che γ C = (o, più precisamete, l itersezioe deve cosistere di u umero fiito di puti). Ricordado la defiizioe (0.5) dell eveto A, i termii dei cotour vale la seguete iclusioe: A c { C Ξ : C = γ C, γ p.c.a. che racchiude 0, C Ξ, γ C = }. Si oti che i geerale la decomposizioe C = γ C o è uica (si veda acora la Figura 0.1) ma questo o sarà u problema. Osserviamo ache che, essedo γ e C disgiuti, si ha chiaramete l(γ C ) = l(γ)+l(c ). Possiamo duque scrivere µ +,β(a c ) = 1 Z +,β e β l(c) 1 C A Z + c,β γ p.c.a. che racchiude 0 e β l(γ) ( γ p.c.a. che racchiude 0 ) 1 e βl(c ) Z +,β C Ξ β l(γ) e = C Ξ γ C = e βl(c ) γ p.c.a. che racchiude 0 e β l(γ), dove si è usata la secoda relazioe i (0.15). Disitegrado rispetto ai possibili valori di l(γ) otteiamo µ + (A c ) K m e β m, dove K m := {γ p.c.a. che racchiude 0 : l(γ) = m}. m=1 Ci resta da stimare K m. Se γ è ua poligoale chiusa autoevitate co l(γ) = m, la sua lughezza geometrica è compresa tra m e m + 4; se γ racchiude 0 al suo itero, ecessariamete γ è iteramete coteuta el quadrato Q := m+4 m+4 ] ]. Costruiamo ora ua curva el modo seguete:, m+4, m+4 La cofigurazioe si costruisce assegado il valore + (a causa delle codizioi al bordo positive) agli spi esteri, cioè che o soo racchiusi da alcua poligoale; quidi assegado il valore agli spi detro le poligoali che cofiao co spi di valore +, e così via. Il puto fodametale è il seguete: per come è costruito u cotour, da ogi puto (x ± 1, y ± 1 ) co (x, y) Λ partoo ecessariamete 0, oppure 4 segmeti del cotour. È questa proprietà che permette di decomporre il cotour i poligoali chiuse autoevitati.

14 14 scegliamo u puto i Q della forma (x ± 1, y ± 1 ), co x, y Z (per questa scelta abbiamo al massimo ( m+4 + m+4 + 1) = (m + 5) possibilità); scegliamo ua delle quattro direzioi possibili e tracciamo u segmeto di lughezza uo i quella direzioe; a questo puto, per il tratto successivo, scegliamo ua delle tre direzioi che o ci fao torare al puto da cui proveiamo; iteriamo la procedura per l passi. Tra le curve costruite i questo modo i u umero di passi compreso tra m e m + 4 ci soo i particolare tutte le possibili p.c.a. γ co l(γ) = m. Di cosegueza K m m+4 (m + 5) 4 3 l 1 5 ((m + 5) 4 3 m+3 ). l=m Semplifichiamo questa espressioe co la stima (molto rozza) x 3 x per ogi x N: I questo modo otteiamo. µ +,β(a c ) C K m C 9 m, dove C := m=1 9 m e βm = C + m=1 e c(β)m = C e c(β) 1 e c(β), dove abbiamo posto c(β) := β log 9. Si oti che la stima otteuta o dipede da. Visto che lim β c(β) = + e dato che C è ua costate fissata, segue che esiste β 0 (0, ) tale che per ogi β > β 0 e per ogi N si ha ovvero µ +,β(a c ) 1 4, µ +,β(a) 3 4. Abbiamo duque mostrato che, per gradi valori di β (cioè a temperatura sufficietemete bassa) el modello di Isig i dimesioe ha luogo il feomeo della magetizzazioe spotaea. È possibile mostrare (o lo faremo) che, al cotrario, per valori piccoli di β o si ha magetizzazioe spotaea. I effetti abbiamo dimostrato u affermazioe più forte: per ogi η > 0 esiste β 0(η) (0, ) tale che per ogi β > β 0(η) e per ogi N si ha µ + (A) > 1 η.